Номер 1068, страница 265 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Метод координат. Параграф 3. Уравнения окружности и прямой. 99. Уравнение прямой - номер 1068, страница 265.

Условие.

1068 Найдите количество точек пересечения окружностей, заданных уравнениями:
а) (x + 2)² + y² = 1 и x² + y² = 4;
б) (x + 3)² + y² = 1 и x² + y² = 4.

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

а)

Даны уравнения двух окружностей: $(x + 2)^2 + y^2 = 1$ и $x^2 + y^2 = 4$.

Общее уравнение окружности имеет вид $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ – это координаты центра, а $R$ – радиус.

Для первой окружности, $(x - (-2))^2 + (y - 0)^2 = 1^2$, центр $O_1$ находится в точке $(-2, 0)$, а радиус $R_1 = 1$.

Для второй окружности, $(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 2^2$, центр $O_2$ находится в точке $(0, 0)$, а радиус $R_2 = 2$.

Чтобы определить количество точек пересечения, найдем расстояние $d$ между центрами окружностей и сравним его с суммой и разностью их радиусов.

Расстояние между центрами $O_1(-2, 0)$ и $O_2(0, 0)$ вычисляется по формуле: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

$d = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{2^2} = 2$.

Сумма радиусов: $R_1 + R_2 = 1 + 2 = 3$.

Модуль разности радиусов: $|R_1 - R_2| = |1 - 2| = 1$.

Сравниваем полученные значения: $d = 2$, $R_1 + R_2 = 3$, $|R_1 - R_2| = 1$.

Так как выполняется неравенство $|R_1 - R_2| < d < R_1 + R_2$, то есть $1 < 2 < 3$, окружности пересекаются в двух различных точках.

Ответ: 2.

б)

Даны уравнения двух окружностей: $(x + 3)^2 + y^2 = 1$ и $x^2 + y^2 = 4$.

Для первой окружности, $(x - (-3))^2 + (y - 0)^2 = 1^2$, центр $O_1$ находится в точке $(-3, 0)$, а радиус $R_1 = 1$.

Для второй окружности, $(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 2^2$, центр $O_2$ находится в точке $(0, 0)$, а радиус $R_2 = 2$.

Найдем расстояние $d$ между центрами $O_1(-3, 0)$ и $O_2(0, 0)$.

$d = \sqrt{(0 - (-3))^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{3^2} = 3$.

Сумма радиусов: $R_1 + R_2 = 1 + 2 = 3$.

Сравниваем расстояние между центрами $d$ и сумму радиусов $R_1 + R_2$.

Так как $d = R_1 + R_2$ (поскольку $3 = 3$), окружности касаются друг друга внешним образом в одной точке.

Ответ: 1.