Номер 1074, страница 267 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 7 классе
99. Уравнение прямой. § 3. Уравнения окружности и прямой. Глава 11. Метод координат - номер 1074, страница 267.
№1074 (с. 267)
Условие. №1074 (с. 267)
скриншот условия

1074 Дан прямоугольник ABCD. Найдите множество всех точек M, для каждой из которых
Решение 2. №1074 (с. 267)

Решение 3. №1074 (с. 267)

Решение 4. №1074 (с. 267)

Решение 6. №1074 (с. 267)



Решение 9. №1074 (с. 267)

Решение 11. №1074 (с. 267)
Для решения задачи воспользуемся методом координат. Поместим прямоугольник $ABCD$ в декартову систему координат так, чтобы вершина $A$ совпала с началом координат, а стороны $AB$ и $AD$ лежали на осях $Ox$ и $Oy$ соответственно. Пусть длина стороны $AB$ равна $w$, а длина стороны $AD$ равна $h$. Тогда вершины прямоугольника будут иметь следующие координаты:
- $A(0, 0)$
- $B(w, 0)$
- $D(0, h)$
- $C(w, h)$
Пусть точка $M$ имеет произвольные координаты $(x, y)$.
Теперь найдем квадраты расстояний от точки $M$ до каждой из вершин прямоугольника, используя формулу квадрата расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, которая равна $(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2$:
- $AM^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = x^2 + y^2$
- $DM^2 = (x - 0)^2 + (y - h)^2 = x^2 + (y - h)^2 = x^2 + y^2 - 2hy + h^2$
- $BM^2 = (x - w)^2 + (y - 0)^2 = (x - w)^2 + y^2 = x^2 - 2wx + w^2 + y^2$
- $CM^2 = (x - w)^2 + (y - h)^2 = x^2 - 2wx + w^2 + y^2 - 2hy + h^2$
Подставим эти выражения в данное в условии равенство:
$(AM^2 + DM^2) - (BM^2 + CM^2) = 2AB^2$
Сначала вычислим выражения в скобках:
$AM^2 + DM^2 = (x^2 + y^2) + (x^2 + y^2 - 2hy + h^2) = 2x^2 + 2y^2 - 2hy + h^2$
$BM^2 + CM^2 = (x^2 - 2wx + w^2 + y^2) + (x^2 - 2wx + w^2 + y^2 - 2hy + h^2) = 2x^2 - 4wx + 2w^2 + 2y^2 - 2hy + h^2$
Теперь подставим эти суммы в исходное уравнение. Учтем, что длина стороны $AB$ равна $w$, поэтому $AB^2 = w^2$.
$(2x^2 + 2y^2 - 2hy + h^2) - (2x^2 - 4wx + 2w^2 + 2y^2 - 2hy + h^2) = 2w^2$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$2x^2 + 2y^2 - 2hy + h^2 - 2x^2 + 4wx - 2w^2 - 2y^2 + 2hy - h^2 = 2w^2$
Многие слагаемые взаимно уничтожаются:
$(2x^2 - 2x^2) + (2y^2 - 2y^2) + (-2hy + 2hy) + (h^2 - h^2) + 4wx - 2w^2 = 2w^2$
В результате получаем простое уравнение:
$4wx - 2w^2 = 2w^2$
Перенесем член $-2w^2$ в правую часть уравнения:
$4wx = 4w^2$
Так как $ABCD$ — прямоугольник, его сторона $AB=w$ имеет ненулевую длину ($w > 0$). Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $4w$:
$x = w$
Уравнение $x = w$ задает на плоскости прямую, все точки которой имеют абсциссу, равную $w$. В нашей системе координат это вертикальная прямая, проходящая через точки $B(w, 0)$ и $C(w, h)$. Таким образом, искомое множество точек $M$ — это прямая, на которой лежит сторона $BC$ прямоугольника.
Ответ: Искомое множество точек $M$ — это прямая, содержащая сторону $BC$ прямоугольника.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 1074 расположенного на странице 267 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №1074 (с. 267), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.