Номер 3, страница 267 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 11. § 3. Уравнения окружности и прямой. Глава 11. Метод координат - номер 3, страница 267.

3 Сформулируйте и докажите теорему о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам.

Формулировка теоремы

Любой вектор $\vec{p}$ на плоскости можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$, то есть представить в виде $\vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b}$, где $x$ и $y$ — некоторые числа. Причем коэффициенты разложения $x$ и $y$ определяются единственным образом.

Доказательство

Доказательство состоит из двух частей: доказательства существования разложения и доказательства его единственности.

1. Существование разложения

Пусть $\vec{a}$ и $\vec{b}$ — два неколлинеарных вектора. Отложим от произвольной точки $O$ векторы $\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$ и $\vec{OP} = \vec{p}$.

Так как векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ неколлинеарны, то прямые $OA$ и $OB$ пересекаются в единственной точке $O$.

Проведем через точку $P$ прямую, параллельную прямой $OB$. Эта прямая пересечет прямую $OA$ в некоторой точке $P_1$. Также проведем через точку $P$ прямую, параллельную прямой $OA$. Эта прямая пересечет прямую $OB$ в некоторой точке $P_2$.

По правилу параллелограмма для сложения векторов (четырехугольник $OP_1PP_2$ — параллелограмм) имеем: $\vec{OP} = \vec{OP_1} + \vec{OP_2}$.

Вектор $\vec{OP_1}$ лежит на прямой $OA$, поэтому он коллинеарен вектору $\vec{OA} = \vec{a}$. Следовательно, существует такое число $x$, что $\vec{OP_1} = x\vec{a}$.

Аналогично, вектор $\vec{OP_2}$ лежит на прямой $OB$, поэтому он коллинеарен вектору $\vec{OB} = \vec{b}$. Следовательно, существует такое число $y$, что $\vec{OP_2} = y\vec{b}$.

Подставив эти выражения в равенство для $\vec{OP}$, получим:$\vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b}$.

Таким образом, мы представили вектор $\vec{p}$ в виде линейной комбинации векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Существование разложения доказано.

2. Единственность разложения

Докажем, что коэффициенты $x$ и $y$ определяются единственным образом. Предположим, что существует другое разложение вектора $\vec{p}$ по векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$ с другими коэффициентами $x_1$ и $y_1$:

$\vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b}$

$\vec{p} = x_1\vec{a} + y_1\vec{b}$

Вычтем из первого равенства второе:

$\vec{0} = (x\vec{a} + y\vec{b}) - (x_1\vec{a} + y_1\vec{b})$

Сгруппируем слагаемые:

$(x - x_1)\vec{a} + (y - y_1)\vec{b} = \vec{0}$

Докажем, что это равенство возможно только при $x - x_1 = 0$ и $y - y_1 = 0$. Предположим противное, например, что $x - x_1 \neq 0$. Тогда из равенства можно выразить вектор $\vec{a}$:

$(x - x_1)\vec{a} = -(y - y_1)\vec{b}$

$\vec{a} = -\frac{y - y_1}{x - x_1}\vec{b}$

Пусть $k = -\frac{y - y_1}{x - x_1}$. Тогда $\vec{a} = k\vec{b}$. Это равенство по определению означает, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны. Но это противоречит условию теоремы, согласно которому векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ неколлинеарны. Следовательно, наше предположение неверно, и коэффициент при $\vec{a}$ должен быть равен нулю:

$x - x_1 = 0 \implies x = x_1$

Подставим это в равенство $(x - x_1)\vec{a} + (y - y_1)\vec{b} = \vec{0}$:

$0 \cdot \vec{a} + (y - y_1)\vec{b} = \vec{0}$

$(y - y_1)\vec{b} = \vec{0}$

Так как вектор $\vec{b}$ по условию ненулевой (иначе он был бы коллинеарен любому вектору), это равенство возможно только если:

$y - y_1 = 0 \implies y = y_1$

Таким образом, мы доказали, что $x = x_1$ и $y = y_1$. Это означает, что разложение вектора по двум неколлинеарным векторам единственно. Теорема полностью доказана.

Ответ: Любой вектор на плоскости может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации двух неколлинеарных векторов $\vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b}$, где числа $x$ и $y$ называются коэффициентами разложения.