Номер 8, страница 268 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 11. § 3. Уравнения окружности и прямой. Глава 11. Метод координат - номер 8, страница 268.

8 Сформулируйте и докажите правила нахождения координат суммы и разности векторов, а также произведения вектора на число по заданным координатам векторов.

Координаты суммы векторов

Формулировка правила: Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

Доказательство: Пусть даны два вектора в двумерном пространстве $\vec{a}\{x_1; y_1\}$ и $\vec{b}\{x_2; y_2\}$. Любой вектор можно представить в виде разложения по координатным векторам (ортам) $\vec{i}\{1; 0\}$ и $\vec{j}\{0; 1\}$.
Разложение для $\vec{a}$: $\vec{a} = x_1\vec{i} + y_1\vec{j}$.
Разложение для $\vec{b}$: $\vec{b} = x_2\vec{i} + y_2\vec{j}$.
Сумма векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ находится путем сложения их разложений. Используя свойства операций над векторами (переместительный и сочетательный законы сложения, распределительный закон умножения на число), получаем:
$\vec{a} + \vec{b} = (x_1\vec{i} + y_1\vec{j}) + (x_2\vec{i} + y_2\vec{j}) = (x_1\vec{i} + x_2\vec{i}) + (y_1\vec{j} + y_2\vec{j}) = (x_1 + x_2)\vec{i} + (y_1 + y_2)\vec{j}$.
Полученное выражение является разложением вектора суммы $\vec{a} + \vec{b}$ по базисным векторам $\vec{i}$ и $\vec{j}$. Коэффициенты при базисных векторах в этом разложении и являются координатами результирующего вектора.
Следовательно, координаты вектора $\vec{a} + \vec{b}$ равны $\{x_1 + x_2; y_1 + y_2\}$. Доказательство для трехмерного пространства и пространства большей размерности аналогично.

Ответ: Если даны векторы $\vec{a}\{x_1; y_1\}$ и $\vec{b}\{x_2; y_2\}$, то координаты их суммы $\vec{a} + \vec{b}$ равны $\{x_1 + x_2; y_1 + y_2\}$.

Координаты разности векторов

Формулировка правила: Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов (уменьшаемого и вычитаемого).

Доказательство: Пусть даны два вектора $\vec{a}\{x_1; y_1\}$ и $\vec{b}\{x_2; y_2\}$. Разность векторов $\vec{a} - \vec{b}$ можно определить как сумму вектора $\vec{a}$ и вектора $(-\vec{b})$, противоположного вектору $\vec{b}$.
Сначала найдем координаты вектора $-\vec{b}$. Если $\vec{b} = x_2\vec{i} + y_2\vec{j}$, то $-\vec{b} = -1 \cdot \vec{b} = -1 \cdot (x_2\vec{i} + y_2\vec{j}) = (-x_2)\vec{i} + (-y_2)\vec{j}$. Значит, вектор $-\vec{b}$ имеет координаты $\{-x_2; -y_2\}$.
Теперь, используя правило сложения векторов в координатах, найдем координаты вектора $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$:
$\vec{a} + (-\vec{b})$ имеет координаты $\{x_1 + (-x_2); y_1 + (-y_2)\}$, что равно $\{x_1 - x_2; y_1 - y_2\}$.
Следовательно, координаты вектора $\vec{a} - \vec{b}$ равны $\{x_1 - x_2; y_1 - y_2\}$.

Ответ: Если даны векторы $\vec{a}\{x_1; y_1\}$ и $\vec{b}\{x_2; y_2\}$, то координаты их разности $\vec{a} - \vec{b}$ равны $\{x_1 - x_2; y_1 - y_2\}$.

Координаты произведения вектора на число

Формулировка правила: Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.

Доказательство: Пусть дан вектор $\vec{a}\{x; y\}$ и некоторое действительное число $k$. Разложим вектор $\vec{a}$ по базисным векторам $\vec{i}$ и $\vec{j}$:
$\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j}$.
Чтобы найти вектор $k\vec{a}$, умножим обе части этого равенства на число $k$. Используя свойства операций над векторами (сочетательный и распределительный законы), получаем:
$k\vec{a} = k(x\vec{i} + y\vec{j}) = k(x\vec{i}) + k(y\vec{j}) = (kx)\vec{i} + (ky)\vec{j}$.
Мы получили разложение вектора $k\vec{a}$ по базису. Коэффициенты $kx$ и $ky$ являются его координатами.
Следовательно, координаты вектора $k\vec{a}$ равны $\{kx; ky\}$.

Ответ: Если дан вектор $\vec{a}\{x; y\}$ и число $k$, то координаты вектора-произведения $k\vec{a}$ равны $\{kx; ky\}$.