Номер 12, страница 268 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 11. § 3. Уравнения окружности и прямой. Глава 11. Метод координат - номер 12, страница 268.

12 Выведите формулу для вычисления длины вектора по его координатам.

Формулу для вычисления длины вектора по его координатам можно вывести с помощью теоремы Пифагора. Рассмотрим два случая: вектор на плоскости и вектор в пространстве.

1. Вектор на плоскости (двумерный случай)

Пусть в прямоугольной декартовой системе координат задан вектор $\vec{a}$ с координатами $(a_x, a_y)$. Это означает, что если отложить этот вектор от начала координат, точки $O(0, 0)$, то его конец придется на точку $A$ с координатами $(a_x, a_y)$.

Для нахождения длины вектора $|\vec{a}|$, которая равна длине отрезка $OA$, рассмотрим прямоугольный треугольник $OBA$, где точка $B$ является проекцией точки $A$ на ось абсцисс. Координаты точки $B$ будут $(a_x, 0)$.

Катеты этого треугольника равны:

• Длина катета $OB$ равна абсолютному значению абсциссы точки $A$, то есть $|a_x|$.
• Длина катета $AB$ равна абсолютному значению ординаты точки $A$, то есть $|a_y|$.

Гипотенуза $OA$ является длиной нашего вектора $\vec{a}$. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$|OA|^2 = |OB|^2 + |AB|^2$

Подставим длины катетов:

$|\vec{a}|^2 = (a_x)^2 + (a_y)^2$

Извлекая квадратный корень, получаем формулу для длины вектора на плоскости:

$|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$

Ответ: Длина вектора $\vec{a}(a_x, a_y)$ на плоскости вычисляется по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$.

2. Вектор в пространстве (трехмерный случай)

Теперь рассмотрим вектор $\vec{b}$ в трехмерном пространстве с координатами $(b_x, b_y, b_z)$. Отложим его от начала координат $O(0, 0, 0)$ до точки $B(b_x, b_y, b_z)$. Длина вектора $|\vec{b}|$ равна длине диагонали $OB$ прямоугольного параллелепипеда, построенного на осях координат с ребрами длиной $|b_x|$, $|b_y|$ и $|b_z|$.

Для вывода формулы применим теорему Пифагора дважды.

Сначала рассмотрим проекцию вектора $\vec{b}$ на плоскость $Oxy$. Это будет вектор с концом в точке $C(b_x, b_y, 0)$. Длина диагонали $OC$ основания параллелепипеда, согласно формуле для плоского случая, равна:

$|OC| = \sqrt{b_x^2 + b_y^2}$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $OCB$. Его катетами являются отрезок $OC$ и отрезок $CB$. Длина катета $OC$ нам известна. Длина катета $CB$ равна аппликате точки $B$, то есть $|b_z|$. Гипотенуза $OB$ — это и есть наш вектор $\vec{b}$.

Применяем теорему Пифагора для треугольника $OCB$:

$|OB|^2 = |OC|^2 + |CB|^2$

Подставляем известные значения:

$|\vec{b}|^2 = (\sqrt{b_x^2 + b_y^2})^2 + (b_z)^2$

$|\vec{b}|^2 = b_x^2 + b_y^2 + b_z^2$

Извлекая квадратный корень, получаем искомую формулу для длины вектора в пространстве:

$|\vec{b}| = \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2}$

Ответ: Длина вектора $\vec{b}(b_x, b_y, b_z)$ в пространстве вычисляется по формуле $|\vec{b}| = \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2}$.

Общий вывод: Длина (модуль) вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.