Номер 12, страница 268 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Метод координат. Параграф 3. Уравнения окружности и прямой. Вопросы для повторения к главе 11 - номер 12, страница 268.

Условие.

12 Выведите формулу для вычисления длины вектора по его координатам.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 11.

Формулу для вычисления длины вектора по его координатам можно вывести с помощью теоремы Пифагора. Рассмотрим два случая: вектор на плоскости и вектор в пространстве.

1. Вектор на плоскости (двумерный случай)

Пусть в прямоугольной декартовой системе координат задан вектор $\vec{a}$ с координатами $(a_x, a_y)$. Это означает, что если отложить этот вектор от начала координат, точки $O(0, 0)$, то его конец придется на точку $A$ с координатами $(a_x, a_y)$.

Для нахождения длины вектора $|\vec{a}|$, которая равна длине отрезка $OA$, рассмотрим прямоугольный треугольник $OBA$, где точка $B$ является проекцией точки $A$ на ось абсцисс. Координаты точки $B$ будут $(a_x, 0)$.

Катеты этого треугольника равны:

• Длина катета $OB$ равна абсолютному значению абсциссы точки $A$, то есть $|a_x|$.
• Длина катета $AB$ равна абсолютному значению ординаты точки $A$, то есть $|a_y|$.

Гипотенуза $OA$ является длиной нашего вектора $\vec{a}$. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$|OA|^2 = |OB|^2 + |AB|^2$

Подставим длины катетов:

$|\vec{a}|^2 = (a_x)^2 + (a_y)^2$

Извлекая квадратный корень, получаем формулу для длины вектора на плоскости:

$|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$

Ответ: Длина вектора $\vec{a}(a_x, a_y)$ на плоскости вычисляется по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$.

2. Вектор в пространстве (трехмерный случай)

Теперь рассмотрим вектор $\vec{b}$ в трехмерном пространстве с координатами $(b_x, b_y, b_z)$. Отложим его от начала координат $O(0, 0, 0)$ до точки $B(b_x, b_y, b_z)$. Длина вектора $|\vec{b}|$ равна длине диагонали $OB$ прямоугольного параллелепипеда, построенного на осях координат с ребрами длиной $|b_x|$, $|b_y|$ и $|b_z|$.

Для вывода формулы применим теорему Пифагора дважды.

Сначала рассмотрим проекцию вектора $\vec{b}$ на плоскость $Oxy$. Это будет вектор с концом в точке $C(b_x, b_y, 0)$. Длина диагонали $OC$ основания параллелепипеда, согласно формуле для плоского случая, равна:

$|OC| = \sqrt{b_x^2 + b_y^2}$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $OCB$. Его катетами являются отрезок $OC$ и отрезок $CB$. Длина катета $OC$ нам известна. Длина катета $CB$ равна аппликате точки $B$, то есть $|b_z|$. Гипотенуза $OB$ — это и есть наш вектор $\vec{b}$.

Применяем теорему Пифагора для треугольника $OCB$:

$|OB|^2 = |OC|^2 + |CB|^2$

Подставляем известные значения:

$|\vec{b}|^2 = (\sqrt{b_x^2 + b_y^2})^2 + (b_z)^2$

$|\vec{b}|^2 = b_x^2 + b_y^2 + b_z^2$

Извлекая квадратный корень, получаем искомую формулу для длины вектора в пространстве:

$|\vec{b}| = \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2}$

Ответ: Длина вектора $\vec{b}(b_x, b_y, b_z)$ в пространстве вычисляется по формуле $|\vec{b}| = \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2}$.

Общий вывод: Длина (модуль) вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.