Номер 9, страница 268 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 11. § 3. Уравнения окружности и прямой. Глава 11. Метод координат - номер 9, страница 268.

9 Что такое радиус-вектор точки? Докажите, что координаты точки равны соответствующим координатам её радиус-вектора.

Что такое радиус-вектор точки?

Радиус-вектор точки M — это направленный отрезок (вектор), у которого начало находится в начале координат (точка O), а конец — в данной точке M.

Радиус-вектор однозначно определяет положение точки в пространстве или на плоскости относительно выбранной системы координат. Обычно радиус-вектор точки M обозначается как $\vec{r}_M$ или $\vec{OM}$. Таким образом, каждой точке M соответствует единственный радиус-вектор, и наоборот, каждый радиус-вектор определяет единственную точку — свой конец.

Ответ: Радиус-вектор точки — это вектор, проведенный из начала координат в эту точку.

Докажите, что координаты точки равны соответствующим координатам её радиус-вектора.

Рассмотрим прямоугольную (декартову) систему координат. Для общности возьмем трехмерное пространство Oxyz. Начало координат, точка O, имеет координаты $(0, 0, 0)$.

Пусть в этой системе координат задана произвольная точка M с координатами $(x, y, z)$.

По определению, радиус-вектором точки M является вектор $\vec{OM}$, соединяющий начало координат O с точкой M.

Координаты любого вектора, заданного координатами его начальной и конечной точек, находятся путем вычитания соответствующих координат начала из координат конца. Если вектор $\vec{AB}$ имеет начало в точке A$(x_A, y_A, z_A)$ и конец в точке B$(x_B, y_B, z_B)$, то его координаты вычисляются по формулам:

$\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)$

Применим эту формулу для нахождения координат радиус-вектора $\vec{OM}$. В данном случае начальная точка — это O$(0, 0, 0)$, а конечная — M$(x, y, z)$.

Тогда координаты вектора $\vec{OM}$ будут:

$x_{\vec{OM}} = x - 0 = x$

$y_{\vec{OM}} = y - 0 = y$

$z_{\vec{OM}} = z - 0 = z$

Следовательно, радиус-вектор $\vec{OM}$ имеет координаты $(x, y, z)$.

Сравнивая координаты точки M $(x, y, z)$ и координаты ее радиус-вектора $\vec{OM}$ $(x, y, z)$, мы видим, что они полностью совпадают. Что и требовалось доказать.

Ответ: Координаты радиус-вектора $\vec{OM}$ вычисляются как разность координат его конца (точки M) и начала (точки O). Поскольку координаты начала координат равны нулю, координаты радиус-вектора оказываются в точности равны координатам точки M.