Номер 16, страница 268 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 11. § 3. Уравнения окружности и прямой. Глава 11. Метод координат - номер 16, страница 268.

16 Выведите уравнение окружности данного радиуса с центром в данной точке.

По определению, окружность — это множество всех точек на плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от заданной точки, называемой центром окружности. Это расстояние называется радиусом.

Рассмотрим прямоугольную систему координат $Oxy$. Пусть центр окружности, точка $C$, имеет заданные координаты $(x_0, y_0)$, а радиус окружности равен заданной величине $R$, где $R > 0$.

Пусть $M(x, y)$ — произвольная точка, лежащая на этой окружности. Координаты $(x, y)$ являются текущими координатами точек окружности.

Исходя из определения окружности, расстояние от центра $C$ до любой точки $M$ на ней постоянно и равно радиусу $R$. Математически это записывается как равенство $|CM| = R$.

Формула для вычисления расстояния между двумя точками $A(x_a, y_a)$ и $B(x_b, y_b)$ на плоскости имеет вид: $d = \sqrt{(x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2}$.

Применим эту формулу для нахождения расстояния между точками $C(x_0, y_0)$ и $M(x, y)$: $|CM| = \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}$.

Так как $|CM| = R$, мы можем приравнять полученное выражение для расстояния к радиусу $R$ и составить уравнение: $\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} = R$.

Для того чтобы получить каноническое уравнение окружности, избавимся от знака квадратного корня, возведя обе части равенства в квадрат. Это преобразование является равносильным, поскольку обе части уравнения неотрицательны ($R > 0$, а значение квадратного корня по определению неотрицательно).

$(\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2})^2 = R^2$

В результате получаем: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

Это и есть искомое уравнение окружности, которое связывает координаты $x$ и $y$ любой точки, лежащей на окружности, с координатами ее центра $(x_0, y_0)$ и квадратом ее радиуса $R^2$.

Ответ: Уравнение окружности радиуса $R$ с центром в точке $(x_0, y_0)$ имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.