Номер 23, страница 268 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Метод координат. Параграф 3. Уравнения окружности и прямой. Вопросы для повторения к главе 11 - номер 23, страница 268.

Условие.

23 Исследуйте взаимное расположение двух окружностей в зависимости от их радиусов и расстояния между их центрами. Сформулируйте полученные выводы.

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

Рассмотрим две окружности: первую с центром в точке $O_1$ и радиусом $R_1$, и вторую с центром в точке $O_2$ и радиусом $R_2$. Пусть расстояние между их центрами равно $d = |O_1O_2|$. Взаимное расположение этих окружностей и количество их общих точек полностью определяется соотношением между величинами $d$, $R_1$ и $R_2$.

Проанализируем все возможные случаи взаимного расположения.

1. Окружности лежат одна вне другой и не имеют общих точек

Это происходит, когда расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов. В этом случае самая близкая точка одной окружности находится на некотором положительном расстоянии от самой близкой точки другой окружности.
Математическое условие: $d > R_1 + R_2$.

Ответ: 0 общих точек.

2. Внешнее касание окружностей

Окружности касаются друг друга с внешней стороны в одной-единственной точке. Эта точка касания лежит на отрезке, соединяющем центры окружностей $O_1O_2$.
Математическое условие: $d = R_1 + R_2$.

Ответ: 1 общая точка.

3. Пересечение окружностей

Окружности пересекаются в двух различных точках. Это возможно, когда расстояние между центрами меньше суммы радиусов, но больше модуля их разности. Это условие известно как неравенство треугольника для треугольника со сторонами $d, R_1, R_2$, вершинами которого являются центры $O_1, O_2$ и одна из точек пересечения.
Математическое условие: $|R_1 - R_2| < d < R_1 + R_2$.

Ответ: 2 общие точки.

4. Внутреннее касание окружностей

Окружности касаются в одной точке, при этом одна окружность находится внутри другой. Точка касания лежит на прямой, проходящей через центры $O_1$ и $O_2$. Этот случай возможен, только если радиусы окружностей не равны.
Математическое условие: $d = |R_1 - R_2|$ и $R_1 \ne R_2$.

Ответ: 1 общая точка.

5. Одна окружность лежит внутри другой и не имеет с ней общих точек

Одна окружность полностью расположена внутри другой и не касается ее. Это происходит, когда расстояние между центрами меньше модуля разности радиусов.
Математическое условие: $d < |R_1 - R_2|$.
Частным случаем являются концентрические окружности, когда их центры совпадают ($d=0$), а радиусы различны ($R_1 \ne R_2$).

Ответ: 0 общих точек.

6. Совпадение окружностей

Если центры окружностей совпадают и их радиусы равны, то окружности полностью совпадают, представляя собой одну и ту же линию.
Математическое условие: $d = 0$ и $R_1 = R_2$.

Ответ: Бесконечно много общих точек.

---

Выводы

Таким образом, количество общих точек двух окружностей с радиусами $R_1$, $R_2$ и расстоянием между центрами $d$ определяется следующими условиями:

• Две общие точки, если расстояние между центрами строго больше модуля разности радиусов и строго меньше их суммы: $ |R_1 - R_2| < d < R_1 + R_2 $.
• Одна общая точка (касание), если расстояние между центрами равно сумме радиусов (внешнее касание) или модулю разности радиусов (внутреннее касание): $ d = R_1 + R_2 $ или $ d = |R_1 - R_2| > 0 $.
• Нет общих точек, если расстояние между центрами больше суммы радиусов (окружности порознь) или меньше модуля разности радиусов (одна окружность внутри другой): $ d > R_1 + R_2 $ или $ d < |R_1 - R_2| $.
• Бесконечно много общих точек (совпадение), если расстояние между центрами равно нулю и радиусы равны: $ d = 0 $ и $ R_1 = R_2 $.