Номер 1081, страница 269 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Уравнения окружности и прямой. Глава 11. Метод координат - номер 1081, страница 269.

1081 Докажите, что точка D равноудалена от точек А, В и С, если:

а) D (1; 1), A (5; 4), B (4; −3), C (−2; 5);

б) D (1; 0), A (7; −8), B (−5; 8), C (9; 6).

Чтобы доказать, что точка D равноудалена от точек A, B и C, необходимо вычислить расстояния от точки D до каждой из этих точек и показать, что эти расстояния равны.

Расстояние d между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ вычисляется по формуле:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

а) D(1; 1), A(5; 4), B(4; -3), C(-2; 5)

Вычислим расстояния DA, DB и DC:

$DA = \sqrt{(5 - 1)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

$DB = \sqrt{(4 - 1)^2 + (-3 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

$DC = \sqrt{(-2 - 1)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

Так как $DA = DB = DC = 5$, точка D равноудалена от точек A, B и C.

Ответ: Доказано.

б) D(1; 0), A(7; -8), B(-5; 8), C(9; 6)

Аналогично вычислим расстояния DA, DB и DC:

$DA = \sqrt{(7 - 1)^2 + (-8 - 0)^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$

$DB = \sqrt{(-5 - 1)^2 + (8 - 0)^2} = \sqrt{(-6)^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$

$DC = \sqrt{(9 - 1)^2 + (6 - 0)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$

Так как $DA = DB = DC = 10$, точка D равноудалена от точек A, B и C.

Ответ: Доказано.