Номер 1083, страница 269 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Уравнения окружности и прямой. Глава 11. Метод координат - номер 1083, страница 269.

1083 Вершины треугольника ABC имеют координаты A (−5; 13), В (3; 5), C (−3; −1). Найдите: а) координаты середин сторон треугольника; б) медиану, проведённую к стороне АС; в) средние линии треугольника.

а)

Координаты середины отрезка с концами в точках $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ находятся по формулам:
$x_c = \frac{x_1 + x_2}{2}$, $y_c = \frac{y_1 + y_2}{2}$

Пусть $M$, $N$ и $K$ — середины сторон $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно.

1. Найдем координаты точки $M$ — середины стороны $AB$.
Координаты вершин: $A(-5; 13)$ и $B(3; 5)$.
$x_M = \frac{-5 + 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
$y_M = \frac{13 + 5}{2} = \frac{18}{2} = 9$
Координаты точки $M$: $(-1; 9)$.

2. Найдем координаты точки $N$ — середины стороны $BC$.
Координаты вершин: $B(3; 5)$ и $C(-3; -1)$.
$x_N = \frac{3 + (-3)}{2} = \frac{0}{2} = 0$
$y_N = \frac{5 + (-1)}{2} = \frac{4}{2} = 2$
Координаты точки $N$: $(0; 2)$.

3. Найдем координаты точки $K$ — середины стороны $AC$.
Координаты вершин: $A(-5; 13)$ и $C(-3; -1)$.
$x_K = \frac{-5 + (-3)}{2} = \frac{-8}{2} = -4$
$y_K = \frac{13 + (-1)}{2} = \frac{12}{2} = 6$
Координаты точки $K$: $(-4; 6)$.

Ответ: $(-1; 9)$, $(0; 2)$, $(-4; 6)$.

б)

Медиана, проведенная к стороне $AC$, — это отрезок, соединяющий вершину $B$ с серединой стороны $AC$. Серединой стороны $AC$ является точка $K$, координаты которой мы нашли в пункте а): $K(-4; 6)$.

Длину медианы $BK$ найдем по формуле расстояния между двумя точками $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Подставим координаты точек $B(3; 5)$ и $K(-4; 6)$:
$BK = \sqrt{(-4 - 3)^2 + (6 - 5)^2} = \sqrt{(-7)^2 + 1^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50}$

Упростим полученное значение: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$.

Ответ: $5\sqrt{2}$.

в)

Средние линии треугольника соединяют середины его сторон. Длина средней линии равна половине длины стороны, которой она параллельна. Чтобы найти длины средних линий, сначала найдем длины сторон треугольника $ABC$.

1. Длина стороны $AB$ (вершины $A(-5; 13)$, $B(3; 5)$):
$AB = \sqrt{(3 - (-5))^2 + (5 - 13)^2} = \sqrt{8^2 + (-8)^2} = \sqrt{64 + 64} = \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$

2. Длина стороны $BC$ (вершины $B(3; 5)$, $C(-3; -1)$):
$BC = \sqrt{(-3 - 3)^2 + (-1 - 5)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$

3. Длина стороны $AC$ (вершины $A(-5; 13)$, $C(-3; -1)$):
$AC = \sqrt{(-3 - (-5))^2 + (-1 - 13)^2} = \sqrt{2^2 + (-14)^2} = \sqrt{4 + 196} = \sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}$

Теперь найдем длины средних линий:
- Средняя линия, параллельная $AB$, имеет длину: $\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.
- Средняя линия, параллельная $BC$, имеет длину: $\frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.
- Средняя линия, параллельная $AC$, имеет длину: $\frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 10\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$.

Ответ: $3\sqrt{2}$, $4\sqrt{2}$, $5\sqrt{2}$.