Номер 1076, страница 269 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Уравнения окружности и прямой. Глава 11. Метод координат - номер 1076, страница 269.

1076 Векторы a и b не коллинеарны. Найдите такое число x (если это возможно), чтобы векторы p и q были коллинеарны:

а) p = 2а − b, q = a + xb;

б) p = xa − b, q = a + xb;

в) p = a + xb, q = a − 2b;

г) p = 2а + b, q = xа + b.

Поскольку векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны, они образуют базис. Два вектора $\vec{p} = p_1\vec{a} + p_2\vec{b}$ и $\vec{q} = q_1\vec{a} + q_2\vec{b}$ коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты в этом базисе пропорциональны. Условие пропорциональности координат $(p_1, p_2)$ и $(q_1, q_2)$ можно записать в виде $p_1q_2 = p_2q_1$.

а)

Даны векторы $\vec{p} = 2\vec{a} - \vec{b}$ и $\vec{q} = \vec{a} + x\vec{b}$.Координаты этих векторов в базисе $(\vec{a}, \vec{b})$ равны: для $\vec{p}$ это $(2; -1)$, а для $\vec{q}$ это $(1; x)$.Применяем условие коллинеарности $p_1q_2 = p_2q_1$:$2 \cdot x = (-1) \cdot 1$$2x = -1$$x = -\frac{1}{2}$

Ответ: $x = -0.5$.

б)

Даны векторы $\vec{p} = x\vec{a} - \vec{b}$ и $\vec{q} = \vec{a} + x\vec{b}$.Координаты векторов в базисе $(\vec{a}, \vec{b})$: для $\vec{p}$ это $(x; -1)$, а для $\vec{q}$ это $(1; x)$.Применяем условие коллинеарности:$x \cdot x = (-1) \cdot 1$$x^2 = -1$Данное уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Ответ: такого числа $x$ не существует.

в)

Даны векторы $\vec{p} = \vec{a} + x\vec{b}$ и $\vec{q} = \vec{a} - 2\vec{b}$.Координаты векторов в базисе $(\vec{a}, \vec{b})$: для $\vec{p}$ это $(1; x)$, а для $\vec{q}$ это $(1; -2)$.Применяем условие коллинеарности:$1 \cdot (-2) = x \cdot 1$$-2 = x$

Ответ: $x = -2$.

г)

Даны векторы $\vec{p} = 2\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{q} = x\vec{a} + \vec{b}$.Координаты векторов в базисе $(\vec{a}, \vec{b})$: для $\vec{p}$ это $(2; 1)$, а для $\vec{q}$ это $(x; 1)$.Применяем условие коллинеарности:$2 \cdot 1 = 1 \cdot x$$2 = x$

Ответ: $x = 2$.