Номер 1078, страница 269 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Уравнения окружности и прямой. Глава 11. Метод координат - номер 1078, страница 269.

1078 Докажите, что расстояние между любыми двумя точками М₁ (х₁; 0) и М₂ (х₂; 0) оси абсцисс вычисляется по формуле d = | х₁ − х₂ |.

Для доказательства воспользуемся общей формулой для вычисления расстояния между двумя точками на координатной плоскости. Расстояние $d$ между точками с координатами $(x_a; y_a)$ и $(x_b; y_b)$ определяется по формуле:

$d = \sqrt{(x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2}$

В условии задачи нам даны две точки, $M_1$ и $M_2$, которые лежат на оси абсцисс. Координаты этих точек: $M_1(x_1; 0)$ и $M_2(x_2; 0)$. Это означает, что их ординаты (координаты по оси $y$) равны нулю.

Подставим координаты точек $M_1$ и $M_2$ в общую формулу расстояния:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (0 - 0)^2}$

Теперь упростим полученное выражение:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + 0^2}$

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2}$

По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{a^2} = |a|$ для любого действительного числа $a$. Применим это свойство к нашему результату:

$d = |x_2 - x_1|$

Так как для любых чисел $a$ и $b$ справедливо равенство $|a - b| = |b - a|$, то мы можем записать расстояние и в виде, указанном в задаче:

$d = |x_1 - x_2|$

Таким образом, формула доказана.

Ответ: Что и требовалось доказать.