Номер 1085, страница 269 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Уравнения окружности и прямой. Глава 11. Метод координат - номер 1085, страница 269.

1085 Докажите, что четырёхугольник ABCD, вершины которого имеют координаты A (−2; −3), В (1; 4), C (8; 7), D (5; 0), является ромбом. Найдите его площадь.

Докажите, что четырёхугольник ABCD, вершины которого имеют координаты A(-2; -3), B(1; 4), C(8; 7), D(5; 0), является ромбом.

Ромбом называется четырёхугольник, у которого все стороны равны по длине. Для доказательства необходимо вычислить длины всех четырёх сторон четырёхугольника ABCD. Воспользуемся формулой для нахождения расстояния между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

1. Вычислим длину стороны AB между точками A(-2; -3) и B(1; 4):
$AB = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (4 - (-3))^2} = \sqrt{(1 + 2)^2 + (4 + 3)^2} = \sqrt{3^2 + 7^2} = \sqrt{9 + 49} = \sqrt{58}$.

2. Вычислим длину стороны BC между точками B(1; 4) и C(8; 7):
$BC = \sqrt{(8 - 1)^2 + (7 - 4)^2} = \sqrt{7^2 + 3^2} = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58}$.

3. Вычислим длину стороны CD между точками C(8; 7) и D(5; 0):
$CD = \sqrt{(5 - 8)^2 + (0 - 7)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-7)^2} = \sqrt{9 + 49} = \sqrt{58}$.

4. Вычислим длину стороны DA между точками D(5; 0) и A(-2; -3):
$DA = \sqrt{(-2 - 5)^2 + (-3 - 0)^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-3)^2} = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58}$.

Так как $AB = BC = CD = DA = \sqrt{58}$, все стороны четырёхугольника ABCD равны. Следовательно, данный четырёхугольник является ромбом.

Ответ: Утверждение доказано.

Найдите его площадь.

Площадь ромба можно найти по формуле через его диагонали: $S = \frac{1}{2}d_1 d_2$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей. В нашем случае диагоналями являются отрезки AC и BD.

1. Найдём длину диагонали AC, соединяющей точки A(-2; -3) и C(8; 7):
$d_1 = AC = \sqrt{(8 - (-2))^2 + (7 - (-3))^2} = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{100 + 100} = \sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}$.

2. Найдём длину диагонали BD, соединяющей точки B(1; 4) и D(5; 0):
$d_2 = BD = \sqrt{(5 - 1)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$.

3. Теперь вычислим площадь ромба:
$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 10\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot (10 \cdot 4) \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}) = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 2 = 40$.

Ответ: 40.