Номер 1080, страница 269 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Уравнения окружности и прямой. Глава 11. Метод координат - номер 1080, страница 269.

1080 Докажите, что углы А и С треугольника ABC равны, если A (−5; 6), B (3; −9) и C (−12; −17).

Для того чтобы доказать, что углы A и C треугольника ABC равны, нужно доказать, что треугольник ABC является равнобедренным с основанием AC. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Это значит, что нам необходимо показать равенство сторон, противолежащих этим углам, то есть $AB = BC$.

Для вычисления длин сторон воспользуемся формулой расстояния между двумя точками с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ на плоскости: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Вычисление длины стороны AB
Имеем координаты точек A(-5; 6) и B(3; -9).
$AB = \sqrt{(3 - (-5))^2 + (-9 - 6)^2} = \sqrt{(3 + 5)^2 + (-15)^2} = \sqrt{8^2 + (-15)^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$.

Вычисление длины стороны BC
Имеем координаты точек B(3; -9) и C(-12; -17).
$BC = \sqrt{(-12 - 3)^2 + (-17 - (-9))^2} = \sqrt{(-15)^2 + (-17 + 9)^2} = \sqrt{(-15)^2 + (-8)^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$.

Заключение
Мы получили, что длина стороны $AB = 17$ и длина стороны $BC = 17$. Так как $AB = BC$, треугольник ABC является равнобедренным с боковыми сторонами AB и BC и основанием AC.

По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны, следовательно, $\angle A = \angle C$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Поскольку длины сторон $AB$ и $BC$ равны ($AB = BC = 17$), треугольник $ABC$ является равнобедренным, и, как следствие, углы при основании $A$ и $C$ равны.