Номер 1087, страница 270 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Уравнения окружности и прямой. Глава 11. Метод координат - номер 1087, страница 270.

1087 Выясните, какие из данных уравнений являются уравнениями окружности. Найдите координаты центра и радиус каждой окружности:
а) (x − 1)² + (у + 2)² = 25;
б) x² + (у + 7)² = 1;
в) х² + у² + 8х − 4у + 40 = 0;
г) х² + у² − 2x + 4у − 20 = 0;
д) x² + у² − 4х − 2у + 1 = 0.

Стандартное уравнение окружности с центром в точке $O(a; b)$ и радиусом $r$ имеет вид: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$.Чтобы определить, является ли данное уравнение уравнением окружности, и найти ее центр и радиус, необходимо привести уравнение к этому стандартному виду. Уравнение задает окружность, если в правой части получается положительное число ($r^2 > 0$).

а) $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 25$

Это уравнение уже представлено в стандартном виде. Его можно переписать как $(x - 1)^2 + (y - (-2))^2 = 5^2$.Сравнивая это уравнение со стандартной формой, находим координаты центра $(a; b)$ и радиус $r$.Координаты центра: $a = 1$, $b = -2$, то есть точка $(1; -2)$.Квадрат радиуса $r^2 = 25$, значит, радиус $r = \sqrt{25} = 5$.Так как $r^2 > 0$, это уравнение является уравнением окружности.

Ответ: данное уравнение является уравнением окружности с центром в точке $(1; -2)$ и радиусом $5$.

б) $x^2 + (y + 7)^2 = 1$

Это уравнение также находится в стандартном виде. Его можно записать как $(x - 0)^2 + (y - (-7))^2 = 1^2$.Сравнивая со стандартным уравнением, получаем:Координаты центра: $a = 0$, $b = -7$, то есть точка $(0; -7)$.Квадрат радиуса $r^2 = 1$, значит, радиус $r = \sqrt{1} = 1$.Так как $r^2 > 0$, это уравнение является уравнением окружности.

Ответ: данное уравнение является уравнением окружности с центром в точке $(0; -7)$ и радиусом $1$.

в) $x^2 + y^2 + 8x - 4y + 40 = 0$

Приведем это уравнение к стандартному виду, используя метод выделения полного квадрата.Сгруппируем слагаемые с $x$ и с $y$:$(x^2 + 8x) + (y^2 - 4y) + 40 = 0$.Выделим полные квадраты:$x^2 + 8x = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2) - 4^2 = (x + 4)^2 - 16$.$y^2 - 4y = (y^2 - 2 \cdot y \cdot 2 + 2^2) - 2^2 = (y - 2)^2 - 4$.Подставим полученные выражения в уравнение:$((x + 4)^2 - 16) + ((y - 2)^2 - 4) + 40 = 0$$(x + 4)^2 + (y - 2)^2 - 16 - 4 + 40 = 0$$(x + 4)^2 + (y - 2)^2 + 20 = 0$$(x + 4)^2 + (y - 2)^2 = -20$.В правой части уравнения стоит отрицательное число. Сумма двух квадратов $(x + 4)^2$ и $(y - 2)^2$ не может быть отрицательной для действительных чисел $x$ и $y$. Следовательно, это уравнение не описывает окружность на действительной плоскости.

Ответ: данное уравнение не является уравнением окружности.

г) $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 20 = 0$

Приведем уравнение к стандартному виду, выделив полные квадраты.Сгруппируем слагаемые: $(x^2 - 2x) + (y^2 + 4y) - 20 = 0$.Выделим полные квадраты:$x^2 - 2x = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2) - 1^2 = (x - 1)^2 - 1$.$y^2 + 4y = (y^2 + 2 \cdot y \cdot 2 + 2^2) - 2^2 = (y + 2)^2 - 4$.Подставим в уравнение:$((x - 1)^2 - 1) + ((y + 2)^2 - 4) - 20 = 0$$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 - 25 = 0$$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 25$.Это стандартное уравнение окружности.Координаты центра: $(1; -2)$.Радиус: $r = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: данное уравнение является уравнением окружности с центром в точке $(1; -2)$ и радиусом $5$.

д) $x^2 + y^2 - 4x - 2y + 1 = 0$

Приведем уравнение к стандартному виду, выделив полные квадраты.Сгруппируем слагаемые: $(x^2 - 4x) + (y^2 - 2y) + 1 = 0$.Выделим полные квадраты:$x^2 - 4x = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2) - 2^2 = (x - 2)^2 - 4$.$y^2 - 2y = (y^2 - 2 \cdot y \cdot 1 + 1^2) - 1^2 = (y - 1)^2 - 1$.Подставим в уравнение:$((x - 2)^2 - 4) + ((y - 1)^2 - 1) + 1 = 0$$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 - 4 = 0$$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 4$.Это стандартное уравнение окружности.Координаты центра: $(2; 1)$.Радиус: $r = \sqrt{4} = 2$.

Ответ: данное уравнение является уравнением окружности с центром в точке $(2; 1)$ и радиусом $2$.