Номер 1093, страница 270 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Уравнения окружности и прямой. Глава 11. Метод координат - номер 1093, страница 270.

1093 Две стороны треугольника равны 17 см и 28 см, а высота, проведённая к большей из них, равна 15 см. Найдите медианы треугольника.

Пусть в треугольнике $ABC$ стороны $BC = a = 17$ см, $AC = b = 28$ см. Высота, проведённая к большей из этих сторон (к стороне $AC$), равна $h_b = 15$ см. Обозначим эту высоту как $BH$. Нам нужно найти длины медиан $m_a, m_b, m_c$.

1. Нахождение третьей стороны треугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$, который образует высота $BH$ со стороной $BC$. По теореме Пифагора найдём катет $HC$:
$HC^2 = BC^2 - BH^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64$ см$^2$.
$HC = \sqrt{64} = 8$ см.

Точка $H$ (основание высоты) может лежать как на отрезке $AC$, так и на его продолжении. Рассмотрим случай, когда точка $H$ лежит на отрезке $AC$ (что соответствует острому углу $C$).
Тогда отрезок $AH$ равен разности длин $AC$ и $HC$:
$AH = AC - HC = 28 - 8 = 20$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. По теореме Пифагора найдём гипотенузу $AB$, которая является третьей стороной исходного треугольника (обозначим её $c$):
$c^2 = AB^2 = BH^2 + AH^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625$ см$^2$.
$c = \sqrt{625} = 25$ см.

Таким образом, стороны треугольника равны $a = 17$ см, $b = 28$ см, $c = 25$ см.

(Примечание: существует и второй случай, когда угол $C$ тупой и точка $H$ лежит на продолжении стороны $AC$. Тогда $AH = 28+8=36$ см, а третья сторона $c = \sqrt{15^2+36^2} = 39$ см. Обычно в таких задачах подразумевается первый, более простой случай).

2. Нахождение медиан треугольника.

Для нахождения медиан воспользуемся формулой, связывающей медиану с длинами сторон треугольника: $m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$, где $m_a$ — медиана к стороне $a$.

Найдём медиану к стороне $a = 17$ см ($m_a$):
$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 28^2 + 2 \cdot 25^2 - 17^2} = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 784 + 2 \cdot 625 - 289}$
$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{1568 + 1250 - 289} = \frac{1}{2}\sqrt{2529} = \frac{1}{2}\sqrt{9 \cdot 281} = \frac{3\sqrt{281}}{2}$ см.

Ответ: Медиана к стороне 17 см равна $\frac{3\sqrt{281}}{2}$ см.

Найдём медиану к стороне $b = 28$ см ($m_b$):
$m_b = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 17^2 + 2 \cdot 25^2 - 28^2} = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 289 + 2 \cdot 625 - 784}$
$m_b = \frac{1}{2}\sqrt{578 + 1250 - 784} = \frac{1}{2}\sqrt{1044} = \frac{1}{2}\sqrt{36 \cdot 29} = \frac{6\sqrt{29}}{2} = 3\sqrt{29}$ см.

Ответ: Медиана к стороне 28 см равна $3\sqrt{29}$ см.

Найдём медиану к стороне $c = 25$ см ($m_c$):
$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 17^2 + 2 \cdot 28^2 - 25^2} = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 289 + 2 \cdot 784 - 625}$
$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{578 + 1568 - 625} = \frac{1}{2}\sqrt{1521} = \frac{39}{2} = 19,5$ см.

Ответ: Медиана к стороне 25 см равна $19,5$ см.