Номер 1100, страница 275 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Синус, косинус, тангенс, котангенс угла. 103. Угловой коэффициент прямой. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 1100, страница 275.

1100 Найдите sin α, если:
а) cos α = 12; б) cos α= −23; в) cos α = −1.

Для нахождения значения $sin\,\alpha$, зная $cos\,\alpha$, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$. Из этого тождества следует, что $sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha$, а значит $sin\,\alpha = \pm\sqrt{1 - cos^2\alpha}$.

а) Дано, что $cos\,\alpha = \frac{1}{2}$.
Подставим это значение в формулу:
$sin^2\alpha = 1 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
Теперь извлечем квадратный корень, чтобы найти $sin\,\alpha$:
$sin\,\alpha = \pm\sqrt{\frac{3}{4}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Поскольку в условии не указана четверть, в которой находится угол $\alpha$, возможны два значения для синуса.
Ответ: $\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$.

б) Дано, что $cos\,\alpha = -\frac{2}{3}$.
Подставим это значение в формулу:
$sin^2\alpha = 1 - (-\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$.
Теперь извлечем квадратный корень:
$sin\,\alpha = \pm\sqrt{\frac{5}{9}} = \pm\frac{\sqrt{5}}{3}$.
Так как четверть угла $\alpha$ не задана, синус может быть как положительным, так и отрицательным.
Ответ: $\pm\frac{\sqrt{5}}{3}$.

в) Дано, что $cos\,\alpha = -1$.
Подставим это значение в формулу:
$sin^2\alpha = 1 - (-1)^2 = 1 - 1 = 0$.
Извлекая квадратный корень из нуля, получаем единственное значение:
$sin\,\alpha = 0$.
Ответ: 0.