Номер 1095, страница 270 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Уравнения окружности и прямой. Глава 11. Метод координат - номер 1095, страница 270.

1095 Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что для всех точек M величина (AM² + СМ²) − (ВМ² + DM²) имеет одно и то же значение.

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$. Известно, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, $O$ является серединой отрезков $AC$ и $BD$.

В векторной форме это означает, что для векторов, проведенных из точки $O$ к вершинам, выполняются следующие равенства:
$\vec{OA} + \vec{OC} = \vec{0}$ (1)
$\vec{OB} + \vec{OD} = \vec{0}$ (2)
Из этих равенств следует, что $\vec{OC} = -\vec{OA}$ и $\vec{OD} = -\vec{OB}$.

Пусть $M$ — произвольная точка. Выразим векторы из точки $M$ к вершинам параллелограмма через вектор $\vec{OM}$ и векторы из точки $O$ к вершинам:
$\vec{MA} = \vec{OA} - \vec{OM}$
$\vec{MC} = \vec{OC} - \vec{OM}$
$\vec{MB} = \vec{OB} - \vec{OM}$
$\vec{MD} = \vec{OD} - \vec{OM}$

Теперь найдем квадраты длин соответствующих отрезков. Квадрат длины вектора равен его скалярному квадрату.
$AM^2 = |\vec{MA}|^2 = (\vec{OA} - \vec{OM}) \cdot (\vec{OA} - \vec{OM}) = |\vec{OA}|^2 - 2(\vec{OA} \cdot \vec{OM}) + |\vec{OM}|^2 = OA^2 - 2(\vec{OA} \cdot \vec{OM}) + OM^2$.
$CM^2 = |\vec{MC}|^2 = (\vec{OC} - \vec{OM}) \cdot (\vec{OC} - \vec{OM}) = |\vec{OC}|^2 - 2(\vec{OC} \cdot \vec{OM}) + |\vec{OM}|^2 = OC^2 - 2(\vec{OC} \cdot \vec{OM}) + OM^2$.

Сложим эти два выражения:
$AM^2 + CM^2 = OA^2 + OC^2 + 2 \cdot OM^2 - 2(\vec{OA} + \vec{OC}) \cdot \vec{OM}$.
Используя равенство (1), получаем $\vec{OA} + \vec{OC} = \vec{0}$. Также, поскольку $O$ - середина $AC$, то $OA = OC$.
$AM^2 + CM^2 = OA^2 + OA^2 + 2 \cdot OM^2 - 2(\vec{0} \cdot \vec{OM}) = 2 \cdot OA^2 + 2 \cdot OM^2$.

Аналогично поступим для вершин $B$ и $D$:
$BM^2 = |\vec{MB}|^2 = OB^2 - 2(\vec{OB} \cdot \vec{OM}) + OM^2$.
$DM^2 = |\vec{MD}|^2 = OD^2 - 2(\vec{OD} \cdot \vec{OM}) + OM^2$.

Сложим эти два выражения:
$BM^2 + DM^2 = OB^2 + OD^2 + 2 \cdot OM^2 - 2(\vec{OB} + \vec{OD}) \cdot \vec{OM}$.
Используя равенство (2), получаем $\vec{OB} + \vec{OD} = \vec{0}$. Также, поскольку $O$ - середина $BD$, то $OB = OD$.
$BM^2 + DM^2 = OB^2 + OB^2 + 2 \cdot OM^2 - 2(\vec{0} \cdot \vec{OM}) = 2 \cdot OB^2 + 2 \cdot OM^2$.

Теперь найдем значение искомого выражения:
$(AM^2 + CM^2) - (BM^2 + DM^2) = (2 \cdot OA^2 + 2 \cdot OM^2) - (2 \cdot OB^2 + 2 \cdot OM^2) = 2 \cdot OA^2 + 2 \cdot OM^2 - 2 \cdot OB^2 - 2 \cdot OM^2 = 2(OA^2 - OB^2)$.

Величины $OA$ и $OB$ представляют собой половины длин диагоналей параллелограмма $AC$ и $BD$ соответственно. Для данного параллелограмма длины его диагоналей являются постоянными величинами. Следовательно, $OA^2$ и $OB^2$ также являются постоянными. Таким образом, разность $2(OA^2 - OB^2)$ является константой, не зависящей от выбора точки $M$. Что и требовалось доказать.

Эту константу можно выразить через длины диагоналей:
$2(OA^2 - OB^2) = 2\left(\left(\frac{AC}{2}\right)^2 - \left(\frac{BD}{2}\right)^2\right) = 2\left(\frac{AC^2}{4} - \frac{BD^2}{4}\right) = \frac{AC^2 - BD^2}{2}$.

Ответ: Величина $(AM^2 + CM^2) - (BM^2 + DM^2)$ не зависит от положения точки $M$ и равна постоянной величине $2(OA^2 - OB^2)$, которая также может быть выражена как $\frac{AC^2 - BD^2}{2}$, где $O$ - точка пересечения диагоналей, а $AC$ и $BD$ - диагонали параллелограмма.