Номер 1097, страница 270 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Метод координат. Параграф 3. Уравнения окружности и прямой. Дополнительные задачи - номер 1097, страница 270.

Условие.

1097 Даны две точки A и B. Найдите множество всех точек M, для каждой из которых:
а) 2АМ² − ВМ² = 2AB²;
б) 2АМ² + 2ВМ² = 6AB².

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 11.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Расположим точки A и B на оси Ox. Пусть точка A имеет координаты $A(0, 0)$, а точка B — $B(d, 0)$, где $d = AB > 0$. Пусть искомая точка M имеет координаты $M(x, y)$.

Тогда квадраты расстояний от точки M до точек A и B, а также между A и B, вычисляются по формулам:

$AM^2 = (x-0)^2 + (y-0)^2 = x^2 + y^2$

$BM^2 = (x-d)^2 + (y-0)^2 = x^2 - 2dx + d^2 + y^2$

$AB^2 = d^2$

а) $2AM^2 - BM^2 = 2AB^2$

Подставим выражения для квадратов расстояний в данное уравнение:

$2(x^2 + y^2) - (x^2 - 2dx + d^2 + y^2) = 2d^2$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$2x^2 + 2y^2 - x^2 + 2dx - d^2 - y^2 = 2d^2$

$x^2 + 2dx + y^2 - d^2 = 2d^2$

$x^2 + 2dx + y^2 = 3d^2$

Чтобы определить геометрическое место точек, выделим полный квадрат для переменной $x$:

$(x^2 + 2dx + d^2) - d^2 + y^2 = 3d^2$

$(x + d)^2 + y^2 = 4d^2$

$(x - (-d))^2 + (y - 0)^2 = (2d)^2$

Это каноническое уравнение окружности с центром в точке $C(-d, 0)$ и радиусом $R = 2d = 2AB$. Точка $C(-d, 0)$ лежит на прямой AB, причём точка A является серединой отрезка CB.

Ответ: Окружность с центром в точке C, такой что A — середина отрезка CB, и радиусом, равным $2AB$.

б) $2AM^2 + 2BM^2 = 6AB^2$

Сначала разделим обе части уравнения на 2:

$AM^2 + BM^2 = 3AB^2$

Теперь подставим в это уравнение выражения для квадратов расстояний в координатах:

$(x^2 + y^2) + (x^2 - 2dx + d^2 + y^2) = 3d^2$

Упростим полученное выражение:

$2x^2 - 2dx + 2y^2 + d^2 = 3d^2$

$2x^2 - 2dx + 2y^2 = 2d^2$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x^2 - dx + y^2 = d^2$

Выделим полный квадрат для переменной $x$:

$(x^2 - dx + \frac{d^2}{4}) - \frac{d^2}{4} + y^2 = d^2$

$(x - \frac{d}{2})^2 + y^2 = d^2 + \frac{d^2}{4}$

$(x - \frac{d}{2})^2 + y^2 = \frac{5d^2}{4}$

Это каноническое уравнение окружности. Центр окружности находится в точке $K(\frac{d}{2}, 0)$, что является серединой отрезка AB. Квадрат радиуса равен $R^2 = \frac{5d^2}{4}$, следовательно, радиус $R = \sqrt{\frac{5d^2}{4}} = \frac{d\sqrt{5}}{2} = \frac{AB\sqrt{5}}{2}$.

Ответ: Окружность с центром в середине отрезка AB и радиусом $R = \frac{AB\sqrt{5}}{2}$.