Номер 1102, страница 275 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Синус, косинус, тангенс, котангенс угла. 103. Угловой коэффициент прямой. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 1102, страница 275.

1102 Найдите tg α, если:
а) cos α = 1; б) cos α = −32; в) sin α = 22 и 0° < α < 90°; г) sin α = 35 и 90° < α < 180°.

а)

Для нахождения тангенса воспользуемся определением $ \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $. Нам известно, что $ \cos \alpha = 1 $. Найдем $ \sin \alpha $ из основного тригонометрического тождества $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $.

$ \sin^2 \alpha + 1^2 = 1 $
$ \sin^2 \alpha + 1 = 1 $
$ \sin^2 \alpha = 0 $
$ \sin \alpha = 0 $

Теперь вычислим тангенс:

$ \tg \alpha = \frac{0}{1} = 0 $.

Ответ: $0$.

б)

Дано $ \cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Чтобы найти $ \tg \alpha $, сначала найдем $ \sin \alpha $ с помощью основного тригонометрического тождества $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $.

$ \sin^2 \alpha + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 $
$ \sin^2 \alpha + \frac{3}{4} = 1 $
$ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{3}{4} $
$ \sin^2 \alpha = \frac{1}{4} $
$ \sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm\frac{1}{2} $

Поскольку четверть, в которой находится угол $ \alpha $, не указана, мы должны рассмотреть два возможных случая.

1. Если $ \sin \alpha = \frac{1}{2} $ (угол во второй четверти), то:
$ \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1/2}{-\sqrt{3}/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3} $.

2. Если $ \sin \alpha = -\frac{1}{2} $ (угол в третьей четверти), то:
$ \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-1/2}{-\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} $.

Таким образом, возможны два значения для тангенса.

Ответ: $ \pm\frac{\sqrt{3}}{3} $.

в)

Дано $ \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ 0^\circ < \alpha < 90^\circ $. Это означает, что угол $ \alpha $ находится в первой четверти, где все тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс) положительны.

Найдем $ \cos \alpha $ из тождества $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $:

$ \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 $
$ \frac{2}{4} + \cos^2 \alpha = 1 $
$ \frac{1}{2} + \cos^2 \alpha = 1 $
$ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $
$ \cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2} $

Так как угол $ \alpha $ находится в первой четверти, $ \cos \alpha $ должен быть положительным, поэтому $ \cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Теперь найдем $ \tg \alpha $:

$ \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2} = 1 $.

Ответ: $1$.

г)

Дано $ \sin \alpha = \frac{3}{5} $ и $ 90^\circ < \alpha < 180^\circ $. Это означает, что угол $ \alpha $ находится во второй четверти. Во второй четверти синус положителен, а косинус и тангенс отрицательны.

Найдем $ \cos \alpha $ из тождества $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $:

$ \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 $
$ \frac{9}{25} + \cos^2 \alpha = 1 $
$ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} $
$ \cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5} $

Так как угол $ \alpha $ находится во второй четверти, $ \cos \alpha $ должен быть отрицательным, поэтому $ \cos \alpha = -\frac{4}{5} $.

Теперь найдем $ \tg \alpha $:

$ \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4} $.

Ответ: $ -\frac{3}{4} $.