Номер 1106, страница 275 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Синус, косинус, тангенс, котангенс угла. 103. Угловой коэффициент прямой. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 1106, страница 275.

1106 Найдите угол между лучом ОА и положительной полуосью Ох, если точка А имеет координаты:
а) (2; 2);
б) (0; 3);
в) (-3; 1);
г) (-22; 22).

а)

Чтобы найти угол между лучом $OA$ и положительной полуосью $Ox$, мы можем определить угол $\alpha$, который вектор $\vec{OA}$ образует с положительным направлением оси $Ox$. Координаты точки $A$ равны $(2; 2)$.
Обозначим координаты точки $A$ как $(x; y)$, где $x=2$ и $y=2$.
Тангенс угла $\alpha$ определяется как отношение ординаты к абсциссе:
$\tan \alpha = \frac{y}{x} = \frac{2}{2} = 1$.
Поскольку обе координаты точки $A$ положительны ($x > 0$, $y > 0$), точка находится в первой координатной четверти. Угол $\alpha$ будет острым, то есть в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$.
Угол, тангенс которого равен 1, это $45^\circ$.
Ответ: $45^\circ$.

б)

Точка $A$ имеет координаты $(0; 3)$.
Эта точка лежит на положительной части оси ординат ($Oy$). Следовательно, луч $OA$ совпадает с положительной полуосью $Oy$.
Угол между положительной полуосью $Oy$ и положительной полуосью $Ox$ по определению равен $90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$.

в)

Точка $A$ имеет координаты $(-\sqrt{3}; 1)$.
Обозначим координаты точки $A$ как $(x; y)$, где $x=-\sqrt{3}$ и $y=1$.
Найдем тангенс угла $\alpha$:
$\tan \alpha = \frac{y}{x} = \frac{1}{-\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Поскольку абсцисса отрицательна ($x < 0$), а ордината положительна ($y > 0$), точка $A$ находится во второй координатной четверти. Угол $\alpha$ находится в диапазоне от $90^\circ$ до $180^\circ$.
Сначала найдем вспомогательный острый угол $\alpha'$, тангенс которого равен модулю нашего значения: $\tan \alpha' = |-\frac{\sqrt{3}}{3}| = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Этот угол равен $30^\circ$.
Для второй четверти искомый угол вычисляется по формуле $\alpha = 180^\circ - \alpha'$.
$\alpha = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.
Ответ: $150^\circ$.

г)

Точка $A$ имеет координаты $(-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2})$.
Обозначим координаты точки $A$ как $(x; y)$, где $x=-2\sqrt{2}$ и $y=2\sqrt{2}$.
Найдем тангенс угла $\alpha$:
$\tan \alpha = \frac{y}{x} = \frac{2\sqrt{2}}{-2\sqrt{2}} = -1$.
Поскольку абсцисса отрицательна ($x < 0$), а ордината положительна ($y > 0$), точка $A$ находится во второй координатной четверти. Угол $\alpha$ находится в диапазоне от $90^\circ$ до $180^\circ$.
Найдем вспомогательный острый угол $\alpha'$, тангенс которого равен $|\tan \alpha| = |-1| = 1$. Этот угол равен $45^\circ$.
Для второй четверти искомый угол вычисляется по формуле $\alpha = 180^\circ - \alpha'$.
$\alpha = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.
Ответ: $135^\circ$.