Номер 1110, страница 281 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника. 108. Измерительные работы - номер 1110, страница 281.

Условие.

1110 Докажите, что площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 11.

Рассмотрим параллелограмм, у которого длины смежных сторон равны $a$ и $b$, а угол между ними равен $\alpha$.

Площадь параллелограмма ($S$) вычисляется как произведение его основания на высоту, проведенную к этому основанию.

Пусть сторона длиной $a$ будет основанием параллелограмма. Проведем из вершины, где сходятся стороны $a$ и $b$, высоту $h$ к основанию $a$.

Эта высота, сторона $b$ и часть основания (или его продолжения) образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике сторона $b$ является гипотенузой, а высота $h$ — катетом, противолежащим углу $\alpha$ (или углу $180^\circ - \alpha$, если угол $\alpha$ тупой).

Из определения синуса в прямоугольном треугольнике имеем: $\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{h}{b}$

Отсюда выразим высоту $h$: $h = b \cdot \sin(\alpha)$

(Примечание: если угол $\alpha$ тупой, то в прямоугольном треугольнике будет участвовать смежный с ним острый угол $180^\circ - \alpha$. Так как $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$, формула для высоты остается той же).

Теперь подставим полученное выражение для высоты $h$ в формулу площади параллелограмма: $S = \text{основание} \cdot h = a \cdot (b \sin(\alpha)) = ab \sin(\alpha)$

Таким образом, доказано, что площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними. Что и требовалось доказать.

Ответ: Площадь параллелограмма со смежными сторонами $a$ и $b$ и углом $\alpha$ между ними равна $S = ab \sin(\alpha)$.