Номер 1117, страница 282 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника. 108. Измерительные работы. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 1117, страница 282.

1117 В параллелограмме ABCD известно, что AD = 713 м, BD = 4,4 м, ∠А = 22°30′. Найдите ∠BDC и ∠DBC.

Для решения этой задачи мы будем использовать свойства параллелограмма и теорему синусов.

Дано:

• Параллелограмм $ABCD$
• $AD = 7\frac{1}{3}$ м
• $BD = 4,4$ м
• $\angle A = 22^\circ 30'$

Свойства параллелограмма, которые мы будем использовать:

1. Противоположные стороны параллельны: $AB \parallel DC$ и $AD \parallel BC$.
2. Накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых секущей равны. Так, при секущей $BD$: $\angle ABD = \angle BDC$ и $\angle ADB = \angle DBC$.
3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$: $\angle A + \angle D = 180^\circ$.

Задача сводится к нахождению углов треугольника $ABD$, так как искомые углы $\angle BDC$ и $\angle DBC$ равны углам $\angle ABD$ и $\angle ADB$ соответственно.

Нахождение $\angle BDC$

Рассмотрим треугольник $ABD$. В нем известны стороны $AD$, $BD$ и угол $\angle A$. Применим теорему синусов:

$\frac{AD}{\sin(\angle ABD)} = \frac{BD}{\sin(\angle A)}$

Мы знаем, что $\angle BDC = \angle ABD$, поэтому можем записать:

$\frac{AD}{\sin(\angle BDC)} = \frac{BD}{\sin(\angle A)}$

Выразим отсюда синус искомого угла $\angle BDC$:

$\sin(\angle BDC) = \frac{AD \cdot \sin(\angle A)}{BD}$

Переведем данные в удобный для вычислений формат:

$AD = 7\frac{1}{3} = \frac{22}{3}$ м

$BD = 4,4 = \frac{44}{10} = \frac{22}{5}$ м

$\angle A = 22^\circ 30' = 22.5^\circ$

Подставим значения в формулу:

$\sin(\angle BDC) = \frac{\frac{22}{3} \cdot \sin(22.5^\circ)}{\frac{22}{5}} = \frac{22}{3} \cdot \frac{5}{22} \cdot \sin(22.5^\circ) = \frac{5}{3} \sin(22.5^\circ)$

Используя калькулятор, найдем значение:

$\sin(\angle BDC) \approx \frac{5}{3} \cdot 0.38268 \approx 0.6378$

Теперь найдем сам угол:

$\angle BDC = \arcsin(0.6378) \approx 39.63^\circ$

Переведем в градусы и минуты: $0.63^\circ \cdot 60 \approx 38'$.

$\angle BDC \approx 39^\circ 38'$

Ответ: $\angle BDC \approx 39^\circ 38'$.

Нахождение $\angle DBC$

Сумма углов параллелограмма, прилежащих к стороне $AD$, равна $180^\circ$:

$\angle ADC = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 22.5^\circ = 157.5^\circ = 157^\circ 30'$

Угол $\angle ADC$ состоит из двух углов: $\angle ADB$ и $\angle BDC$.

$\angle ADC = \angle ADB + \angle BDC$

Отсюда можем найти $\angle ADB$:

$\angle ADB = \angle ADC - \angle BDC \approx 157.5^\circ - 39.63^\circ = 117.87^\circ$

По свойству параллелограмма, накрест лежащие углы $\angle DBC$ и $\angle ADB$ равны.

$\angle DBC = \angle ADB \approx 117.87^\circ$

Переведем в градусы и минуты: $0.87^\circ \cdot 60 \approx 52'$.

$\angle DBC \approx 117^\circ 52'$

Ответ: $\angle DBC \approx 117^\circ 52'$.