Номер 1119, страница 282 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника. 108. Измерительные работы. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 1119, страница 282.

1119 Смежные стороны параллелограмма равны a и b, а один из его углов равен α. Найдите диагонали параллелограмма и угол между ними.

Пусть дан параллелограмм со смежными сторонами a и b и одним из углов, равным α. Пусть этот угол находится между сторонами a и b. Диагонали параллелограмма обозначим d₁ и d₂.

Диагонали параллелограмма

Для нахождения длин диагоналей воспользуемся теоремой косинусов.

Первая диагональ, назовем ее d₁, лежит напротив угла α. Согласно теореме косинусов для треугольника со сторонами a, b и углом α между ними: $d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)$ Следовательно, $d_1 = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)}$

Смежный угол в параллелограмме равен $180^\circ - \alpha$. Вторая диагональ, d₂, лежит напротив этого угла. Применяя теорему косинусов для треугольника со сторонами a, b и углом $180^\circ - \alpha$ между ними: $d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(180^\circ - \alpha)$ Используя тригонометрическое тождество $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$, получаем: $d_2^2 = a^2 + b^2 + 2ab \cos(\alpha)$ Следовательно, $d_2 = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab \cos(\alpha)}$

Ответ: Диагонали параллелограмма равны $\sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)}$ и $\sqrt{a^2 + b^2 + 2ab \cos(\alpha)}$.

Угол между диагоналями

Пусть φ — это угол между диагоналями. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим треугольник, образованный стороной a и половинами диагоналей $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$. Угол между половинами диагоналей в этом треугольнике — это один из углов между диагоналями, пусть это будет φ.

Применим к этому треугольнику теорему косинусов: $a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{d_1}{2} \cdot \frac{d_2}{2} \cos(\phi)$ $a^2 = \frac{d_1^2 + d_2^2}{4} - \frac{d_1 d_2}{2} \cos(\phi)$

Известно, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон: $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$. Подставим это в предыдущее уравнение: $a^2 = \frac{2(a^2 + b^2)}{4} - \frac{d_1 d_2}{2} \cos(\phi)$ $a^2 = \frac{a^2 + b^2}{2} - \frac{d_1 d_2}{2} \cos(\phi)$ Умножим обе части на 2: $2a^2 = a^2 + b^2 - d_1 d_2 \cos(\phi)$ Выразим $d_1 d_2 \cos(\phi)$: $d_1 d_2 \cos(\phi) = a^2 + b^2 - 2a^2 = b^2 - a^2$

Отсюда находим косинус угла φ: $\cos(\phi) = \frac{b^2 - a^2}{d_1 d_2}$ Подставим выражения для d₁ и d₂: $\cos(\phi) = \frac{b^2 - a^2}{\sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)} \cdot \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab \cos(\alpha)}}$ Упростим знаменатель, используя формулу разности квадратов: $\cos(\phi) = \frac{b^2 - a^2}{\sqrt{(a^2+b^2)^2 - (2ab\cos\alpha)^2}} = \frac{b^2 - a^2}{\sqrt{a^4+b^4+2a^2b^2 - 4a^2b^2\cos^2\alpha}}$ Это выражение определяет один из двух смежных углов между диагоналями. Второй угол будет равен $180^\circ - \phi$.

Ответ: Если φ — один из углов между диагоналями, то его косинус равен $\cos(\phi) = \frac{b^2 - a^2}{\sqrt{(a^2+b^2)^2 - 4a^2b^2\cos^2\alpha}}$.