Номер 1114, страница 282 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника. 108. Измерительные работы. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 1114, страница 282.

1114 С помощью теорем синусов и косинусов решите треугольник ABC, если:

а) ∠А = 60°, ∠B = 40°, c = 14;

б) ∠А = 30°, ∠C = 75°, b = 4,5;

в) ∠А = 80°, а = 16, b = 10;

г) ∠B = 45°, ∠С = 70°, а = 24,6;

д) ∠А = 60°, а = 10, b = 7;

е) а = 6,3, b = 6,3, ∠С = 54°;

ж) b = 32, c = 45, ∠A = 87°;

з) а = 14, b = 18, с = 20;

и) а = 6, b = 7,3, с = 4,8.

а) Дано: $\angle A=60^\circ, \angle B=40^\circ, c=14$.
1. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому третий угол $\angle C$ равен:$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (60^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.
2. Для нахождения неизвестных сторон $a$ и $b$ воспользуемся теоремой синусов: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$.
3. Найдем сторону $a$:$a = \frac{c \cdot \sin A}{\sin C} = \frac{14 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 80^\circ} \approx \frac{14 \cdot 0,8660}{0,9848} \approx 12,31$.
4. Найдем сторону $b$:$b = \frac{c \cdot \sin B}{\sin C} = \frac{14 \cdot \sin 40^\circ}{\sin 80^\circ} \approx \frac{14 \cdot 0,6428}{0,9848} \approx 9,14$.
Ответ: $\angle C = 80^\circ, a \approx 12,3, b \approx 9,1$.

б) Дано: $\angle A=30^\circ, \angle C=75^\circ, b=4,5$.
1. Найдем угол $B$:$\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - (30^\circ + 75^\circ) = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$.
2. Так как $\angle C = \angle B = 75^\circ$, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $a$. Следовательно, $c = b = 4,5$.
3. По теореме синусов найдем сторону $a$:$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \implies a = \frac{b \cdot \sin A}{\sin B} = \frac{4,5 \cdot \sin 30^\circ}{\sin 75^\circ} \approx \frac{4,5 \cdot 0,5}{0,9659} \approx 2,33$.
Ответ: $\angle B = 75^\circ, a \approx 2,3, c = 4,5$.

в) Дано: $\angle A=80^\circ, a=16, b=10$.
1. По теореме синусов найдем угол $B$:$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \implies \sin B = \frac{b \cdot \sin A}{a} = \frac{10 \cdot \sin 80^\circ}{16} \approx \frac{10 \cdot 0,9848}{16} \approx 0,6155$.
Поскольку $a > b$, существует только одно решение.$\angle B = \arcsin(0,6155) \approx 38,0^\circ$.
2. Найдем угол $C$:$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) \approx 180^\circ - (80^\circ + 38,0^\circ) = 180^\circ - 118,0^\circ = 62,0^\circ$.
3. По теореме синусов найдем сторону $c$:$\frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A} \implies c = \frac{a \cdot \sin C}{\sin A} \approx \frac{16 \cdot \sin 62,0^\circ}{\sin 80^\circ} \approx \frac{16 \cdot 0,8829}{0,9848} \approx 14,34$.
Ответ: $\angle B \approx 38,0^\circ, \angle C \approx 62,0^\circ, c \approx 14,3$.

г) Дано: $\angle B=45^\circ, \angle C=70^\circ, a=24,6$.
1. Найдем угол $A$:$\angle A = 180^\circ - (\angle B + \angle C) = 180^\circ - (45^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$.
2. По теореме синусов $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$.
3. Найдем сторону $b$:$b = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A} = \frac{24,6 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 65^\circ} \approx \frac{24,6 \cdot 0,7071}{0,9063} \approx 19,19$.
4. Найдем сторону $c$:$c = \frac{a \cdot \sin C}{\sin A} = \frac{24,6 \cdot \sin 70^\circ}{\sin 65^\circ} \approx \frac{24,6 \cdot 0,9397}{0,9063} \approx 25,51$.
Ответ: $\angle A = 65^\circ, b \approx 19,2, c \approx 25,5$.

д) Дано: $\angle A=60^\circ, a=10, b=7$.
1. По теореме синусов найдем угол $B$:$\sin B = \frac{b \cdot \sin A}{a} = \frac{7 \cdot \sin 60^\circ}{10} \approx \frac{7 \cdot 0,8660}{10} = 0,6062$.
Поскольку $a > b$, существует только одно решение.$\angle B = \arcsin(0,6062) \approx 37,3^\circ$.
2. Найдем угол $C$:$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) \approx 180^\circ - (60^\circ + 37,3^\circ) = 180^\circ - 97,3^\circ = 82,7^\circ$.
3. По теореме синусов найдем сторону $c$:$c = \frac{a \cdot \sin C}{\sin A} \approx \frac{10 \cdot \sin 82,7^\circ}{\sin 60^\circ} \approx \frac{10 \cdot 0,9919}{0,8660} \approx 11,45$.
Ответ: $\angle B \approx 37,3^\circ, \angle C \approx 82,7^\circ, c \approx 11,5$.

е) Дано: $a=6,3, b=6,3, \angle C=54^\circ$.
1. Так как $a=b$, треугольник $ABC$ равнобедренный, а значит углы при основании равны: $\angle A = \angle B$.
2. Найдем углы $A$ и $B$:$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \implies 2\angle A = 180^\circ - 54^\circ = 126^\circ \implies \angle A = 63^\circ$.Следовательно, $\angle A = \angle B = 63^\circ$.
3. По теореме косинусов найдем сторону $c$:$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C = (6,3)^2 + (6,3)^2 - 2 \cdot 6,3 \cdot 6,3 \cdot \cos 54^\circ$.
$c^2 = 39,69 + 39,69 - 2 \cdot 39,69 \cdot \cos 54^\circ \approx 79,38 - 79,38 \cdot 0,5878 \approx 32,73$.
$c = \sqrt{32,73} \approx 5,72$.
Ответ: $\angle A = 63^\circ, \angle B = 63^\circ, c \approx 5,7$.

ж) Дано: $b=32, c=45, \angle A=87^\circ$.
1. По теореме косинусов найдем сторону $a$:$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A = 32^2 + 45^2 - 2 \cdot 32 \cdot 45 \cdot \cos 87^\circ$.
$a^2 = 1024 + 2025 - 2880 \cdot \cos 87^\circ \approx 3049 - 2880 \cdot 0,0523 \approx 2898,38$.
$a = \sqrt{2898,38} \approx 53,84$.
2. По теореме синусов найдем угол $B$:$\sin B = \frac{b \sin A}{a} \approx \frac{32 \cdot \sin 87^\circ}{53,84} \approx \frac{32 \cdot 0,9986}{53,84} \approx 0,5935$.
$\angle B = \arcsin(0,5935) \approx 36,4^\circ$.
3. Найдем угол $C$:$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) \approx 180^\circ - (87^\circ + 36,4^\circ) = 180^\circ - 123,4^\circ = 56,6^\circ$.
Ответ: $a \approx 53,8, \angle B \approx 36,4^\circ, \angle C \approx 56,6^\circ$.

з) Дано: $a=14, b=18, c=20$.
1. По теореме косинусов найдем углы треугольника. Начнем с угла $C$, противолежащего наибольшей стороне.
$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{14^2 + 18^2 - 20^2}{2 \cdot 14 \cdot 18} = \frac{196 + 324 - 400}{504} = \frac{120}{504} \approx 0,2381$.
$\angle C = \arccos(0,2381) \approx 76,2^\circ$.
2. Найдем угол $B$:
$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{14^2 + 20^2 - 18^2}{2 \cdot 14 \cdot 20} = \frac{196 + 400 - 324}{560} = \frac{272}{560} \approx 0,4857$.
$\angle B = \arccos(0,4857) \approx 61,0^\circ$.
3. Найдем угол $A$:
$\angle A = 180^\circ - (\angle B + \angle C) \approx 180^\circ - (61,0^\circ + 76,2^\circ) = 180^\circ - 137,2^\circ = 42,8^\circ$.
Ответ: $\angle A \approx 42,8^\circ, \angle B \approx 61,0^\circ, \angle C \approx 76,2^\circ$.

и) Дано: $a=6, b=7,3, c=4,8$.
1. По теореме косинусов найдем углы треугольника. Начнем с угла $B$, противолежащего наибольшей стороне.
$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{6^2 + (4,8)^2 - (7,3)^2}{2 \cdot 6 \cdot 4,8} = \frac{36 + 23,04 - 53,29}{57,6} = \frac{5,75}{57,6} \approx 0,0998$.
$\angle B = \arccos(0,0998) \approx 84,3^\circ$.
2. Найдем угол $A$:
$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{(7,3)^2 + (4,8)^2 - 6^2}{2 \cdot 7,3 \cdot 4,8} = \frac{53,29 + 23,04 - 36}{70,08} = \frac{40,33}{70,08} \approx 0,5755$.
$\angle A = \arccos(0,5755) \approx 54,9^\circ$.
3. Найдем угол $C$:
$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) \approx 180^\circ - (54,9^\circ + 84,3^\circ) = 180^\circ - 139,2^\circ = 40,8^\circ$.
Ответ: $\angle A \approx 54,9^\circ, \angle B \approx 84,3^\circ, \angle C \approx 40,8^\circ$.