Номер 1112, страница 281 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника. 108. Измерительные работы. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 1112, страница 281.

1112 Найдите площадь прямоугольника, диагональ которого равна 10 см, а угол между диагоналями равен 30°.

Для нахождения площади прямоугольника можно воспользоваться формулой площади выпуклого четырехугольника, выраженной через его диагонали и угол между ними.

Формула площади четырехугольника имеет вид:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\alpha$

где $d_1$ и $d_2$ — это длины диагоналей, а $\alpha$ — угол между ними.

В прямоугольнике диагонали равны между собой, следовательно, $d_1 = d_2 = d$.

Из условия задачи нам известны:

• длина диагонали $d = 10$ см;
• угол между диагоналями $\alpha = 30^{\circ}$.

Подставим эти значения в формулу, адаптированную для прямоугольника:

$S = \frac{1}{2} d^2 \sin\alpha$

Выполним вычисления:

$S = \frac{1}{2} \cdot (10 \text{ см})^2 \cdot \sin(30^{\circ})$

Так как значение синуса $30$ градусов равно $\frac{1}{2}$, получаем:

$S = \frac{1}{2} \cdot 100 \text{ см}^2 \cdot \frac{1}{2}$

$S = \frac{100}{4} \text{ см}^2$

$S = 25 \text{ см}^2$

Ответ: $25 \text{ см}^2$.