Номер 1109, страница 281 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника. 108. Измерительные работы. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 1109, страница 281.

1109 Найдите площадь треугольника ABC, если:

а) AB = 68 см, АС = 4 см, ∠А = 60°;
б) ВС = 3 см, AB = 182 см, ∠В = 45°;
в) АС = 14 см, СВ = 7 см, ∠C = 48°.

Для нахождения площади треугольника во всех трех случаях используется формула, согласно которой площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними: $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$.

а)

В данном случае нам даны стороны $AB = 6\sqrt{8}$ см, $AC = 4$ см и угол между ними $\angle A = 60°$.

Площадь треугольника $ABC$ находится по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A)$.

Прежде всего, упростим значение длины стороны $AB$:$AB = 6\sqrt{8} = 6\sqrt{4 \cdot 2} = 6 \cdot 2\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$ см.

Значение синуса угла $60°$ является табличным: $\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь подставим все известные значения в формулу площади:

$S = \frac{1}{2} \cdot 12\sqrt{2} \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$S = (6\sqrt{2}) \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 12\sqrt{6}$ см².

Ответ: $12\sqrt{6}$ см².

б)

Здесь даны стороны $BC = 3$ см, $AB = 18\sqrt{2}$ см и угол между ними $\angle B = 45°$.

Площадь треугольника $ABC$ вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle B)$.

Значение синуса угла $45°$ является табличным: $\sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим значения в формулу:

$S = \frac{1}{2} \cdot 18\sqrt{2} \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$S = 9\sqrt{2} \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 27\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 27 \cdot \frac{2}{2} = 27$ см².

Ответ: $27$ см².

в)

В этом случае даны стороны $AC = 14$ см, $CB = 7$ см и угол между ними $\angle C = 48°$.

Площадь треугольника $ABC$ вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CB \cdot \sin(\angle C)$.

Подставим известные значения в формулу:

$S = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 7 \cdot \sin(48°)$

$S = 7 \cdot 7 \cdot \sin(48°) = 49\sin(48°)$ см².

Так как значение $\sin(48°)$ не является стандартным табличным значением, ответ принято оставлять в таком виде. Если требуется получить приближенное численное значение, можно воспользоваться калькулятором: $\sin(48°) \approx 0.7431$, тогда $S \approx 49 \cdot 0.7431 \approx 36.41$ см².

Ответ: $49\sin(48°)$ см².