Номер 1109, страница 281 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника. 108. Измерительные работы - номер 1109, страница 281.

Условие.

1109 Найдите площадь треугольника ABC, если:

а) AB = 68 см, АС = 4 см, ∠А = 60°;
б) ВС = 3 см, AB = 182 см, ∠В = 45°;
в) АС = 14 см, СВ = 7 см, ∠C = 48°.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 11.

Для нахождения площади треугольника во всех трех случаях используется формула, согласно которой площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними: $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$.

а)

В данном случае нам даны стороны $AB = 6\sqrt{8}$ см, $AC = 4$ см и угол между ними $\angle A = 60°$.

Площадь треугольника $ABC$ находится по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A)$.

Прежде всего, упростим значение длины стороны $AB$:$AB = 6\sqrt{8} = 6\sqrt{4 \cdot 2} = 6 \cdot 2\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$ см.

Значение синуса угла $60°$ является табличным: $\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь подставим все известные значения в формулу площади:

$S = \frac{1}{2} \cdot 12\sqrt{2} \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$S = (6\sqrt{2}) \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 12\sqrt{6}$ см².

Ответ: $12\sqrt{6}$ см².

б)

Здесь даны стороны $BC = 3$ см, $AB = 18\sqrt{2}$ см и угол между ними $\angle B = 45°$.

Площадь треугольника $ABC$ вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle B)$.

Значение синуса угла $45°$ является табличным: $\sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим значения в формулу:

$S = \frac{1}{2} \cdot 18\sqrt{2} \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$S = 9\sqrt{2} \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 27\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 27 \cdot \frac{2}{2} = 27$ см².

Ответ: $27$ см².

в)

В этом случае даны стороны $AC = 14$ см, $CB = 7$ см и угол между ними $\angle C = 48°$.

Площадь треугольника $ABC$ вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CB \cdot \sin(\angle C)$.

Подставим известные значения в формулу:

$S = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 7 \cdot \sin(48°)$

$S = 7 \cdot 7 \cdot \sin(48°) = 49\sin(48°)$ см².

Так как значение $\sin(48°)$ не является стандартным табличным значением, ответ принято оставлять в таком виде. Если требуется получить приближенное численное значение, можно воспользоваться калькулятором: $\sin(48°) \approx 0.7431$, тогда $S \approx 49 \cdot 0.7431 \approx 36.41$ см².

Ответ: $49\sin(48°)$ см².