Номер 1116, страница 282 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника. 108. Измерительные работы. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 1116, страница 282.

1116 Найдите стороны треугольника ABC, если ∠A = 45°, ∠C = 30°, а высота AD равна 3 м.

Для решения задачи сначала найдем все углы треугольника ABC. Нам дано $\angle A = 45^\circ$ и $\angle C = 30^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому:

$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ$

Поскольку $\angle B = 105^\circ$ является тупым, высота AD, опущенная из вершины A на прямую, содержащую сторону BC, будет падать за пределы отрезка BC. В частности, точка D будет лежать на продолжении стороны CB за точку B. Таким образом, у нас образуются два прямоугольных треугольника: $\triangle ADC$ и $\triangle ADB$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADC$. В нем $\angle D = 90^\circ$, $\angle C = 30^\circ$, а длина катета $AD = 3$ м. Мы можем найти гипотенузу AC, которая является одной из сторон исходного треугольника.

Из определения синуса угла в прямоугольном треугольнике:

$\sin C = \frac{AD}{AC}$

Отсюда находим сторону AC:

$AC = \frac{AD}{\sin C} = \frac{3}{\sin 30^\circ} = \frac{3}{1/2} = 6$ м.

Теперь, когда мы знаем все углы в $\triangle ABC$ и длину одной из его сторон (AC), мы можем использовать теорему синусов для нахождения длин двух других сторон (AB и BC).

Теорема синусов гласит:

$\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$

Подставим известные значения, чтобы найти AB:

$\frac{AB}{\sin 30^\circ} = \frac{6}{\sin 105^\circ}$

$AB = \frac{6 \cdot \sin 30^\circ}{\sin 105^\circ}$

Вычислим $\sin 105^\circ$ с помощью формулы синуса суммы:

$\sin 105^\circ = \sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Теперь подставим это значение в выражение для AB:

$AB = \frac{6 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{3}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{12}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$

Чтобы упростить выражение, избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{6} - \sqrt{2})$:

$AB = \frac{12(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{12(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{12(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = 3(\sqrt{6} - \sqrt{2})$ м.

Аналогично, используя теорему синусов, найдем сторону BC:

$\frac{BC}{\sin 45^\circ} = \frac{6}{\sin 105^\circ}$

$BC = \frac{6 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 105^\circ} = \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$

Упростим полученное выражение:

$BC = \frac{12\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{12(\sqrt{12} - 2)}{6 - 2} = \frac{12(2\sqrt{3} - 2)}{4} = 3(2\sqrt{3} - 2) = 6(\sqrt{3} - 1)$ м.

Ответ: $AC = 6$ м, $AB = 3(\sqrt{6} - \sqrt{2})$ м, $BC = 6(\sqrt{3} - 1)$ м.