Номер 1120, страница 282 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника. 108. Измерительные работы. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 1120, страница 282.

1120 Выясните, является ли треугольник остроугольным, прямоугольным или тупоугольным, если его стороны равны:
а) 5, 4 и 4; б) 17, 8 и 15; в) 9, 5 и 6.

Для определения вида треугольника (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный) по его сторонам, воспользуемся следствием из теоремы косинусов. Пусть стороны треугольника равны $a, b, c$, где $c$ — наибольшая сторона. Тогда:

• Если $c^2 < a^2 + b^2$, то угол, лежащий против стороны $c$, острый. Так как это наибольший угол треугольника, то и остальные углы острые, а значит, треугольник — остроугольный.
• Если $c^2 = a^2 + b^2$, то по теореме, обратной теореме Пифагора, угол, лежащий против стороны $c$, прямой. Треугольник — прямоугольный.
• Если $c^2 > a^2 + b^2$, то угол, лежащий против стороны $c$, тупой. Треугольник — тупоугольный.

Применим это правило для каждого случая.

а) Стороны равны 5, 4 и 4.

1. Находим наибольшую сторону. Это сторона $c=5$. Остальные стороны $a=4$ и $b=4$.

2. Вычисляем квадрат наибольшей стороны: $c^2 = 5^2 = 25$.

3. Вычисляем сумму квадратов двух других сторон: $a^2 + b^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32$.

4. Сравниваем полученные значения: $25 < 32$.

Поскольку $c^2 < a^2 + b^2$, треугольник является остроугольным.

Ответ: остроугольный.

б) Стороны равны 17, 8 и 15.

1. Находим наибольшую сторону. Это сторона $c=17$. Остальные стороны $a=8$ и $b=15$.

2. Вычисляем квадрат наибольшей стороны: $c^2 = 17^2 = 289$.

3. Вычисляем сумму квадратов двух других сторон: $a^2 + b^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$.

4. Сравниваем полученные значения: $289 = 289$.

Поскольку $c^2 = a^2 + b^2$, треугольник является прямоугольным.

Ответ: прямоугольный.

в) Стороны равны 9, 5 и 6.

1. Находим наибольшую сторону. Это сторона $c=9$. Остальные стороны $a=5$ и $b=6$.

2. Вычисляем квадрат наибольшей стороны: $c^2 = 9^2 = 81$.

3. Вычисляем сумму квадратов двух других сторон: $a^2 + b^2 = 5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61$.

4. Сравниваем полученные значения: $81 > 61$.

Поскольку $c^2 > a^2 + b^2$, треугольник является тупоугольным.

Ответ: тупоугольный.