Номер 1120, страница 282 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника. 108. Измерительные работы - номер 1120, страница 282.

Условие.

1120 Выясните, является ли треугольник остроугольным, прямоугольным или тупоугольным, если его стороны равны:
а) 5, 4 и 4; б) 17, 8 и 15; в) 9, 5 и 6.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 11.

Для определения вида треугольника (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный) по его сторонам, воспользуемся следствием из теоремы косинусов. Пусть стороны треугольника равны $a, b, c$, где $c$ — наибольшая сторона. Тогда:

• Если $c^2 < a^2 + b^2$, то угол, лежащий против стороны $c$, острый. Так как это наибольший угол треугольника, то и остальные углы острые, а значит, треугольник — остроугольный.
• Если $c^2 = a^2 + b^2$, то по теореме, обратной теореме Пифагора, угол, лежащий против стороны $c$, прямой. Треугольник — прямоугольный.
• Если $c^2 > a^2 + b^2$, то угол, лежащий против стороны $c$, тупой. Треугольник — тупоугольный.

Применим это правило для каждого случая.

а) Стороны равны 5, 4 и 4.

1. Находим наибольшую сторону. Это сторона $c=5$. Остальные стороны $a=4$ и $b=4$.

2. Вычисляем квадрат наибольшей стороны: $c^2 = 5^2 = 25$.

3. Вычисляем сумму квадратов двух других сторон: $a^2 + b^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32$.

4. Сравниваем полученные значения: $25 < 32$.

Поскольку $c^2 < a^2 + b^2$, треугольник является остроугольным.

Ответ: остроугольный.

б) Стороны равны 17, 8 и 15.

1. Находим наибольшую сторону. Это сторона $c=17$. Остальные стороны $a=8$ и $b=15$.

2. Вычисляем квадрат наибольшей стороны: $c^2 = 17^2 = 289$.

3. Вычисляем сумму квадратов двух других сторон: $a^2 + b^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$.

4. Сравниваем полученные значения: $289 = 289$.

Поскольку $c^2 = a^2 + b^2$, треугольник является прямоугольным.

Ответ: прямоугольный.

в) Стороны равны 9, 5 и 6.

1. Находим наибольшую сторону. Это сторона $c=9$. Остальные стороны $a=5$ и $b=6$.

2. Вычисляем квадрат наибольшей стороны: $c^2 = 9^2 = 81$.

3. Вычисляем сумму квадратов двух других сторон: $a^2 + b^2 = 5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61$.

4. Сравниваем полученные значения: $81 > 61$.

Поскольку $c^2 > a^2 + b^2$, треугольник является тупоугольным.

Ответ: тупоугольный.