Номер 1125, страница 283 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника. 108. Измерительные работы. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 1125, страница 283.

1125 Наблюдатель находится на расстоянии 50 м от башни, высоту которой хочет определить (рис. 334). Основание башни он видит под углом 2° к горизонту, а вершину — под углом 45° к горизонту. Какова высота башни?

Пусть высота башни равна $h$. Согласно рисунку и условию задачи, общая высота башни складывается из двух частей:

1. Часть башни выше уровня глаз наблюдателя. Обозначим ее $h_1$.
2. Часть башни ниже уровня глаз наблюдателя. Обозначим ее $h_2$.

Таким образом, полная высота башни $h = h_1 + h_2$.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника, которые образуются линиями взгляда наблюдателя, горизонтальной линией на уровне его глаз и вертикальной линией башни. Горизонтальное расстояние от наблюдателя до башни является общим катетом для обоих треугольников и равно $50$ м.

1. Найдем высоту $h_1$.
В верхнем прямоугольном треугольнике катет $h_1$ является противолежащим углу $45^\circ$, а катет, равный $50$ м, — прилежащим.
Соотношение между ними выражается через тангенс угла:
$\tan(45^\circ) = \frac{h_1}{50}$
Поскольку $\tan(45^\circ) = 1$, получаем:
$1 = \frac{h_1}{50}$
Следовательно, $h_1 = 50$ м.

2. Найдем высоту $h_2$.
В нижнем прямоугольном треугольнике катет $h_2$ является противолежащим углу $2^\circ$, а катет, равный $50$ м, — прилежащим.
Аналогично, используем тангенс угла:
$\tan(2^\circ) = \frac{h_2}{50}$
Отсюда $h_2 = 50 \cdot \tan(2^\circ)$.

3. Найдем общую высоту башни $h$.
$h = h_1 + h_2 = 50 + 50 \cdot \tan(2^\circ) = 50(1 + \tan(2^\circ))$.
Для вычисления численного значения используем приближенное значение $\tan(2^\circ) \approx 0,0349$.
$h \approx 50 \cdot (1 + 0,0349) = 50 \cdot 1,0349 = 51,745$ м.
Округлим результат до сотых: $51,75$ м.

Ответ: высота башни примерно равна 51,75 м.