Номер 1129, страница 288 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

112. Свойства скалярного произведения векторов. § 3. Скалярное произведение векторов. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 1129, страница 288.

1129 Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О, и диагональ BD равна стороне ромба. Найдите угол между векторами: а) AB и AD; б) AB и DA; в) ВА и AD; г) ОС и OD; д) AB и DA; е) AB и CD.

По условию задачи, $ABCD$ — ромб, диагонали которого пересекаются в точке $O$. Длина диагонали $BD$ равна стороне ромба. Обозначим сторону ромба через $a$. Тогда $AB = BC = CD = DA = a$, и по условию $BD = a$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. Так как все его стороны равны ($AB = AD = BD = a$), то $\triangle ABD$ является равносторонним. Следовательно, все его углы равны $60^\circ$. В частности, угол ромба при вершине $A$ равен $\angle DAB = 60^\circ$.

Сумма соседних углов ромба равна $180^\circ$, поэтому $\angle ABC = 180^\circ - \angle DAB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$. Это означает, что угол $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOA = 90^\circ$.

Теперь найдем углы между указанными векторами.

---

а) $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$

Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ имеют общее начало в точке $A$. Угол между ними равен углу ромба $\angle DAB$. Как мы установили, $\triangle ABD$ — равносторонний, поэтому $\angle DAB = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

---

б) $\vec{AB}$ и $\vec{DA}$

Чтобы найти угол между векторами, их нужно отложить от одной точки. Вектор $\vec{DA}$ является противоположным вектору $\vec{AD}$, то есть $\vec{DA} = -\vec{AD}$. Угол между вектором $\vec{u}$ и вектором $-\vec{v}$ равен $180^\circ$ минус угол между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$. Угол между $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ равен $60^\circ$. Следовательно, искомый угол равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.

---

в) $\vec{BA}$ и $\vec{AD}$

Для нахождения угла между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{AD}$ отложим их от одной точки. Вектор $\vec{BA}$ противоположен вектору $\vec{AB}$ ($\vec{BA} = -\vec{AB}$). Искомый угол — это угол между векторами $-\vec{AB}$ и $\vec{AD}$. Он равен $180^\circ$ минус угол между $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$, то есть $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
Альтернативно, можно перенести вектор $\vec{AD}$ так, чтобы его начало совпадало с точкой $B$. В ромбе $\vec{AD} = \vec{BC}$. Тогда искомый угол — это угол между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$, то есть $\angle ABC$, который равен $120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.

---

г) $\vec{OC}$ и $\vec{OD}$

Векторы $\vec{OC}$ и $\vec{OD}$ выходят из одной точки $O$ и лежат на диагоналях ромба. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Следовательно, угол между ними $\angle COD$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

---

д) $\vec{AB}$ и $\vec{DA}$

Этот пункт полностью совпадает с пунктом б). Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{DA}$ равен $120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.

---

е) $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$

В ромбе $ABCD$ противоположные стороны параллельны, то есть $AB \parallel CD$. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ сонаправлены и равны по длине, то есть $\vec{AB} = \vec{DC}$. Вектор $\vec{CD}$ противоположен вектору $\vec{DC}$, то есть $\vec{CD} = -\vec{DC}$. Таким образом, $\vec{CD} = -\vec{AB}$. Это означает, что векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ противоположно направлены (антипараллельны). Угол между противоположно направленными векторами равен $180^\circ$.

Ответ: $180^\circ$.