Страница 288 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

1128 Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке О. Найдите угол между векторами: а) AB и АС; б) AB и DA; в) ОА и ОB; г) АО и ОB; д) OA и ОС; е) АС и BD; ж) AD и DB; з) АО и ОС.

Для решения задачи воспользуемся свойствами квадрата $ABCD$ с центром в точке $O$ (точка пересечения диагоналей):

• Все углы прямые: $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$.
• Диагонали равны ($AC = BD$), перпендикулярны ($AC \perp BD$), точкой пересечения делятся пополам ($AO = OC = BO = OD$).
• Диагонали являются биссектрисами углов квадрата, то есть делят их на два угла по $45^\circ$ (например, $\angle BAC = \angle CAD = 45^\circ$).

Угол между двумя векторами определяется после приведения их к общему началу.

а) $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$

Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ уже имеют общее начало в точке $A$. Следовательно, угол между ними равен углу $\angle BAC$. Диагональ $AC$ в квадрате $ABCD$ является биссектрисой угла $\angle DAB$. Так как $\angle DAB = 90^\circ$, то угол $\angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

б) $\vec{AB}$ и $\vec{DA}$

Чтобы найти угол между векторами, приведем их к общему началу. Выполним параллельный перенос вектора $\vec{AB}$ так, чтобы его начало совпало с точкой $D$. В результате получим вектор $\vec{DC}$, который равен вектору $\vec{AB}$ ($\vec{DC}=\vec{AB}$), так как $ABCD$ — квадрат. Теперь задача сводится к нахождению угла между векторами $\vec{DC}$ и $\vec{DA}$. Оба вектора исходят из точки $D$, поэтому угол между ними равен $\angle ADC$. В квадрате все углы равны $90^\circ$, следовательно, $\angle ADC = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

в) $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$

Векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$ имеют общее начало в точке $O$. Угол между ними равен $\angle AOB$. Диагонали квадрата перпендикулярны, поэтому угол между ними в точке пересечения составляет $90^\circ$. Таким образом, $\angle AOB = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

г) $\vec{AO}$ и $\vec{OB}$

Приведем векторы к общему началу. Перенесем вектор $\vec{AO}$ параллельно так, чтобы его начало оказалось в точке $O$. Так как $O$ — середина диагонали $AC$, то вектор, равный $\vec{AO}$ и исходящий из точки $O$, есть вектор $\vec{OC}$. Теперь нужно найти угол между векторами $\vec{OC}$ и $\vec{OB}$. Эти векторы имеют общее начало $O$, и угол между ними — это $\angle COB$. Так как диагонали квадрата перпендикулярны, $\angle COB = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

д) $\vec{OA}$ и $\vec{OC}$

Векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OC}$ имеют общее начало в точке $O$. Оба вектора лежат на диагонали $AC$. Вектор $\vec{OA}$ направлен из точки $O$ в точку $A$, а вектор $\vec{OC}$ — из точки $O$ в точку $C$. Они направлены в противоположные стороны. Угол между двумя противоположно направленными векторами равен $180^\circ$.

Ответ: $180^\circ$.

е) $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$

Векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ — это векторы, лежащие на диагоналях квадрата. Угол между диагоналями квадрата равен $90^\circ$. Направления векторов соответствуют направлениям от $A$ к $C$ и от $B$ к $D$. Чтобы найти угол, можно перенести их начала в точку $O$. Вектор, сонаправленный с $\vec{AC}$, — это $\vec{OC}$. Вектор, сонаправленный с $\vec{BD}$, — это $\vec{OD}$. Угол между $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ будет равен углу между $\vec{OC}$ и $\vec{OD}$, то есть $\angle COD = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

ж) $\vec{AD}$ и $\vec{DB}$

Приведем векторы к общему началу $D$. Для этого рассмотрим вектор $\vec{DA}$, который является противоположным вектору $\vec{AD}$. Угол между векторами $\vec{DA}$ и $\vec{DB}$ равен $\angle ADB$. Диагональ $BD$ является биссектрисой угла $\angle ADC$, поэтому $\angle ADB = \frac{1}{2} \angle ADC = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$. Угол между вектором $\vec{u}$ и вектором $\vec{v}$ и угол между $-\vec{u}$ и $\vec{v}$ в сумме дают $180^\circ$. Следовательно, угол между $\vec{AD}$ и $\vec{DB}$ равен $180^\circ - (\text{угол между } \vec{DA} \text{ и } \vec{DB}) = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Ответ: $135^\circ$.

з) $\vec{AO}$ и $\vec{OC}$

Вектор $\vec{AO}$ начинается в точке $A$ и заканчивается в $O$. Вектор $\vec{OC}$ начинается в $O$ и заканчивается в $C$. Оба вектора лежат на одной прямой (диагонали $AC$) и направлены в одну сторону (от $A$ к $C$). Такие векторы называются сонаправленными. Угол между сонаправленными векторами равен $0^\circ$.

Ответ: $0^\circ$.

1129 Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О, и диагональ BD равна стороне ромба. Найдите угол между векторами: а) AB и AD; б) AB и DA; в) ВА и AD; г) ОС и OD; д) AB и DA; е) AB и CD.

По условию задачи, $ABCD$ — ромб, диагонали которого пересекаются в точке $O$. Длина диагонали $BD$ равна стороне ромба. Обозначим сторону ромба через $a$. Тогда $AB = BC = CD = DA = a$, и по условию $BD = a$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. Так как все его стороны равны ($AB = AD = BD = a$), то $\triangle ABD$ является равносторонним. Следовательно, все его углы равны $60^\circ$. В частности, угол ромба при вершине $A$ равен $\angle DAB = 60^\circ$.

Сумма соседних углов ромба равна $180^\circ$, поэтому $\angle ABC = 180^\circ - \angle DAB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$. Это означает, что угол $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOA = 90^\circ$.

Теперь найдем углы между указанными векторами.

а) $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$

Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ имеют общее начало в точке $A$. Угол между ними равен углу ромба $\angle DAB$. Как мы установили, $\triangle ABD$ — равносторонний, поэтому $\angle DAB = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

б) $\vec{AB}$ и $\vec{DA}$

Чтобы найти угол между векторами, их нужно отложить от одной точки. Вектор $\vec{DA}$ является противоположным вектору $\vec{AD}$, то есть $\vec{DA} = -\vec{AD}$. Угол между вектором $\vec{u}$ и вектором $-\vec{v}$ равен $180^\circ$ минус угол между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$. Угол между $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ равен $60^\circ$. Следовательно, искомый угол равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.

в) $\vec{BA}$ и $\vec{AD}$

Для нахождения угла между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{AD}$ отложим их от одной точки. Вектор $\vec{BA}$ противоположен вектору $\vec{AB}$ ($\vec{BA} = -\vec{AB}$). Искомый угол — это угол между векторами $-\vec{AB}$ и $\vec{AD}$. Он равен $180^\circ$ минус угол между $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$, то есть $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
Альтернативно, можно перенести вектор $\vec{AD}$ так, чтобы его начало совпадало с точкой $B$. В ромбе $\vec{AD} = \vec{BC}$. Тогда искомый угол — это угол между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$, то есть $\angle ABC$, который равен $120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.

г) $\vec{OC}$ и $\vec{OD}$

Векторы $\vec{OC}$ и $\vec{OD}$ выходят из одной точки $O$ и лежат на диагоналях ромба. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Следовательно, угол между ними $\angle COD$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

д) $\vec{AB}$ и $\vec{DA}$

Этот пункт полностью совпадает с пунктом б). Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{DA}$ равен $120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.

е) $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$

В ромбе $ABCD$ противоположные стороны параллельны, то есть $AB \parallel CD$. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ сонаправлены и равны по длине, то есть $\vec{AB} = \vec{DC}$. Вектор $\vec{CD}$ противоположен вектору $\vec{DC}$, то есть $\vec{CD} = -\vec{DC}$. Таким образом, $\vec{CD} = -\vec{AB}$. Это означает, что векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ противоположно направлены (антипараллельны). Угол между противоположно направленными векторами равен $180^\circ$.

Ответ: $180^\circ$.

1130 Вычислите скалярное произведение векторов a и b, если | а | = 2, | b | = 3, а угол между ними равен: а) 45°; б) 90°; в) 135°.

Для вычисления скалярного произведения двух векторов используется формула, связывающая его с модулями векторов и косинусом угла между ними:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — это угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

По условию задачи даны модули векторов: $|\vec{a}| = 2$ и $|\vec{b}| = 3$.

а) Угол между векторами равен 45°.
Подставим значения в формулу:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 3 \cdot \cos(45^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$.
Ответ: $3\sqrt{2}$.

б) Угол между векторами равен 90°.
Подставим значения в формулу:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 3 \cdot \cos(90^\circ) = 6 \cdot 0 = 0$.
Ответ: 0.

в) Угол между векторами равен 135°.
Подставим значения в формулу:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 3 \cdot \cos(135^\circ) = 2 \cdot 3 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -3\sqrt{2}$.
Ответ: $-3\sqrt{2}$.

1131 В равностороннем треугольнике ABC со стороной а проведена высота BD. Вычислите скалярное произведение векторов:
а) AB ⋅ АС; б) АС ⋅ СВ; в) AC ⋅ BD; г) АС ⋅ АС.

В равностороннем треугольнике $ABC$ все стороны равны по длине $a$, и все внутренние углы равны $60^\circ$. Таким образом, $|\vec{AB}| = |\vec{BC}| = |\vec{AC}| = a$, а $\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$. Скалярное произведение двух векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$ вычисляется по формуле $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между векторами.

а) Требуется найти скалярное произведение $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$. Длины векторов равны $|\vec{AB}| = a$ и $|\vec{AC}| = a$. Угол между этими векторами — это угол при вершине $A$, который равен $60^\circ$.
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\angle A) = a \cdot a \cdot \cos(60^\circ) = a^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$.
Ответ: $\frac{a^2}{2}$.

б) Требуется найти скалярное произведение $\vec{AC} \cdot \vec{CB}$. Длины векторов равны $|\vec{AC}| = a$ и $|\vec{CB}| = a$. Чтобы найти угол между этими векторами, их необходимо отложить от одной точки. Вектор $\vec{AC}$ направлен к точке $C$, а вектор $\vec{CB}$ направлен от точки $C$. Угол между ними равен внешнему углу треугольника при вершине $C$, то есть $180^\circ - \angle C = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
$\vec{AC} \cdot \vec{CB} = |\vec{AC}| \cdot |\vec{CB}| \cdot \cos(120^\circ) = a \cdot a \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{a^2}{2}$.
Ответ: $-\frac{a^2}{2}$.

в) Требуется найти скалярное произведение $\vec{AC} \cdot \vec{BD}$. По условию, $BD$ — это высота, проведенная к стороне $AC$. По определению высоты, $BD \perp AC$. Это означает, что векторы $\vec{BD}$ и $\vec{AC}$ перпендикулярны. Угол между перпендикулярными векторами равен $90^\circ$, а $\cos(90^\circ) = 0$.
Скалярное произведение перпендикулярных векторов всегда равно нулю: $\vec{AC} \cdot \vec{BD} = |\vec{AC}| \cdot |\vec{BD}| \cdot \cos(90^\circ) = 0$.
Ответ: $0$.

г) Требуется найти скалярное произведение $\vec{AC} \cdot \vec{AC}$. Это скалярный квадрат вектора $\vec{AC}$. Угол между вектором и им самим равен $0^\circ$, и $\cos(0^\circ)=1$. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.
$\vec{AC} \cdot \vec{AC} = |\vec{AC}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(0^\circ) = |\vec{AC}|^2 = a^2$.
Ответ: $a^2$.

1132 К одной и той же точке приложены две силы Р и Q, действующие под углом 120° друг к другу, причём | P | = 8, | Q | = 15. Найдите величину равнодействующей силы R.

Равнодействующая сила $\vec{R}$ является векторной суммой приложенных сил $\vec{P}$ и $\vec{Q}$, то есть $\vec{R} = \vec{P} + \vec{Q}$.

Для нахождения величины (модуля) равнодействующей силы, зная величины исходных сил и угол между ними, применяется теорема косинусов для векторов. Квадрат модуля суммы двух векторов равен сумме квадратов их модулей, сложенной с удвоенным произведением модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Формула для нахождения квадрата величины равнодействующей силы $\vec{R}$ выглядит следующим образом:

$|\vec{R}|^2 = |\vec{P}|^2 + |\vec{Q}|^2 + 2|\vec{P}||\vec{Q}|\cos(\alpha)$

где:
$|\vec{P}|$ — величина силы $\vec{P}$,
$|\vec{Q}|$ — величина силы $\vec{Q}$,
$\alpha$ — угол между векторами $\vec{P}$ и $\vec{Q}$.

Согласно условию задачи:
$|\vec{P}| = 8$
$|\vec{Q}| = 15$
$\alpha = 120^\circ$

Подставим эти значения в формулу. Значение косинуса $120^\circ$ равно:

$\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} = -0.5$

Теперь выполним расчет:

$|\vec{R}|^2 = 8^2 + 15^2 + 2 \cdot 8 \cdot 15 \cdot \cos(120^\circ)$

$|\vec{R}|^2 = 64 + 225 + 2 \cdot 8 \cdot 15 \cdot (-0.5)$

$|\vec{R}|^2 = 289 - 8 \cdot 15$

$|\vec{R}|^2 = 289 - 120$

$|\vec{R}|^2 = 169$

Чтобы найти величину равнодействующей силы $|\vec{R}|$, необходимо извлечь квадратный корень из полученного значения:

$|\vec{R}| = \sqrt{169}$

$|\vec{R}| = 13$

Ответ: 13