Номер 1128, страница 288 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

112. Свойства скалярного произведения векторов. § 3. Скалярное произведение векторов. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 1128, страница 288.

1128 Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке О. Найдите угол между векторами: а) AB и АС; б) AB и DA; в) ОА и ОB; г) АО и ОB; д) OA и ОС; е) АС и BD; ж) AD и DB; з) АО и ОС.

Для решения задачи воспользуемся свойствами квадрата $ABCD$ с центром в точке $O$ (точка пересечения диагоналей):

• Все углы прямые: $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$.
• Диагонали равны ($AC = BD$), перпендикулярны ($AC \perp BD$), точкой пересечения делятся пополам ($AO = OC = BO = OD$).
• Диагонали являются биссектрисами углов квадрата, то есть делят их на два угла по $45^\circ$ (например, $\angle BAC = \angle CAD = 45^\circ$).

Угол между двумя векторами определяется после приведения их к общему началу.

а) $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$

Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ уже имеют общее начало в точке $A$. Следовательно, угол между ними равен углу $\angle BAC$. Диагональ $AC$ в квадрате $ABCD$ является биссектрисой угла $\angle DAB$. Так как $\angle DAB = 90^\circ$, то угол $\angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

б) $\vec{AB}$ и $\vec{DA}$

Чтобы найти угол между векторами, приведем их к общему началу. Выполним параллельный перенос вектора $\vec{AB}$ так, чтобы его начало совпало с точкой $D$. В результате получим вектор $\vec{DC}$, который равен вектору $\vec{AB}$ ($\vec{DC}=\vec{AB}$), так как $ABCD$ — квадрат. Теперь задача сводится к нахождению угла между векторами $\vec{DC}$ и $\vec{DA}$. Оба вектора исходят из точки $D$, поэтому угол между ними равен $\angle ADC$. В квадрате все углы равны $90^\circ$, следовательно, $\angle ADC = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

в) $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$

Векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$ имеют общее начало в точке $O$. Угол между ними равен $\angle AOB$. Диагонали квадрата перпендикулярны, поэтому угол между ними в точке пересечения составляет $90^\circ$. Таким образом, $\angle AOB = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

г) $\vec{AO}$ и $\vec{OB}$

Приведем векторы к общему началу. Перенесем вектор $\vec{AO}$ параллельно так, чтобы его начало оказалось в точке $O$. Так как $O$ — середина диагонали $AC$, то вектор, равный $\vec{AO}$ и исходящий из точки $O$, есть вектор $\vec{OC}$. Теперь нужно найти угол между векторами $\vec{OC}$ и $\vec{OB}$. Эти векторы имеют общее начало $O$, и угол между ними — это $\angle COB$. Так как диагонали квадрата перпендикулярны, $\angle COB = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

д) $\vec{OA}$ и $\vec{OC}$

Векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OC}$ имеют общее начало в точке $O$. Оба вектора лежат на диагонали $AC$. Вектор $\vec{OA}$ направлен из точки $O$ в точку $A$, а вектор $\vec{OC}$ — из точки $O$ в точку $C$. Они направлены в противоположные стороны. Угол между двумя противоположно направленными векторами равен $180^\circ$.

Ответ: $180^\circ$.

е) $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$

Векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ — это векторы, лежащие на диагоналях квадрата. Угол между диагоналями квадрата равен $90^\circ$. Направления векторов соответствуют направлениям от $A$ к $C$ и от $B$ к $D$. Чтобы найти угол, можно перенести их начала в точку $O$. Вектор, сонаправленный с $\vec{AC}$, — это $\vec{OC}$. Вектор, сонаправленный с $\vec{BD}$, — это $\vec{OD}$. Угол между $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ будет равен углу между $\vec{OC}$ и $\vec{OD}$, то есть $\angle COD = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

ж) $\vec{AD}$ и $\vec{DB}$

Приведем векторы к общему началу $D$. Для этого рассмотрим вектор $\vec{DA}$, который является противоположным вектору $\vec{AD}$. Угол между векторами $\vec{DA}$ и $\vec{DB}$ равен $\angle ADB$. Диагональ $BD$ является биссектрисой угла $\angle ADC$, поэтому $\angle ADB = \frac{1}{2} \angle ADC = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$. Угол между вектором $\vec{u}$ и вектором $\vec{v}$ и угол между $-\vec{u}$ и $\vec{v}$ в сумме дают $180^\circ$. Следовательно, угол между $\vec{AD}$ и $\vec{DB}$ равен $180^\circ - (\text{угол между } \vec{DA} \text{ и } \vec{DB}) = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Ответ: $135^\circ$.

з) $\vec{AO}$ и $\vec{OC}$

Вектор $\vec{AO}$ начинается в точке $A$ и заканчивается в $O$. Вектор $\vec{OC}$ начинается в $O$ и заканчивается в $C$. Оба вектора лежат на одной прямой (диагонали $AC$) и направлены в одну сторону (от $A$ к $C$). Такие векторы называются сонаправленными. Угол между сонаправленными векторами равен $0^\circ$.

Ответ: $0^\circ$.