Номер 1135, страница 289 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

112. Свойства скалярного произведения векторов. § 3. Скалярное произведение векторов. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 1135, страница 289.

1135 Докажите, что векторы i + j и i − j перпендикулярны, если i и j — координатные векторы.

Для того чтобы доказать, что два ненулевых вектора перпендикулярны, необходимо и достаточно доказать, что их скалярное произведение равно нулю.

Обозначим данные векторы как $\vec{a} = \vec{i} + \vec{j}$ и $\vec{b} = \vec{i} - \vec{j}$.

По условию, $\vec{i}$ и $\vec{j}$ — координатные векторы. Это означает, что они образуют ортонормированный базис, и для них справедливы следующие свойства:
1. Они взаимно перпендикулярны, следовательно, их скалярное произведение равно нулю: $\vec{i} \cdot \vec{j} = 0$.
2. Они являются единичными векторами (ортами), то есть их длины (модули) равны единице: $|\vec{i}| = 1$ и $|\vec{j}| = 1$.

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, используя свойство дистрибутивности скалярного произведения (правило раскрытия скобок):
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (\vec{i} + \vec{j}) \cdot (\vec{i} - \vec{j})$
Раскроем скобки:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{i} \cdot \vec{i} - \vec{i} \cdot \vec{j} + \vec{j} \cdot \vec{i} - \vec{j} \cdot \vec{j}$

Зная, что скалярное произведение коммутативно ($\vec{j} \cdot \vec{i} = \vec{i} \cdot \vec{j}$), а также что скалярное произведение вектора на себя равно квадрату его модуля ($\vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2$), мы можем упростить выражение. Выражение $\vec{i} \cdot \vec{j}$ и $\vec{j} \cdot \vec{i}$ в сумме дают ноль, так как $\vec{i} \cdot \vec{j} = 0$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{i}|^2 - |\vec{j}|^2$

Теперь подставим значения модулей координатных векторов:
$|\vec{i}|^2 - |\vec{j}|^2 = 1^2 - 1^2 = 1 - 1 = 0$.

Поскольку скалярное произведение векторов равно нулю, они перпендикулярны.

Альтернативное решение (через координаты):

В декартовой системе координат на плоскости координатные векторы имеют следующие координаты: $\vec{i} = \{1; 0\}$ и $\vec{j} = \{0; 1\}$.
Найдем координаты векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$\vec{a} = \vec{i} + \vec{j} = \{1; 0\} + \{0; 1\} = \{1+0; 0+1\} = \{1; 1\}$
$\vec{b} = \vec{i} - \vec{j} = \{1; 0\} - \{0; 1\} = \{1-0; 0-1\} = \{1; -1\}$

Скалярное произведение векторов в координатах $\vec{u}=\{x_1; y_1\}$ и $\vec{v}=\{x_2; y_2\}$ вычисляется по формуле $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = 1 - 1 = 0$.
Результат также равен нулю, что подтверждает перпендикулярность векторов.

Ответ: Скалярное произведение векторов $(\vec{i} + \vec{j}) \cdot (\vec{i} - \vec{j})$ равно 0, следовательно, данные векторы перпендикулярны, что и требовалось доказать.