Номер 1137, страница 289 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 3. Скалярное произведение векторов. 112. Свойства скалярного произведения векторов - номер 1137, страница 289.

Условие.

1137 Найдите косинусы углов треугольника с вершинами A (2; 8), В (−1; 5), С (3; 1).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 11.

Для нахождения косинусов углов треугольника с заданными вершинами A(2; 8), B(-1; 5), C(3; 1) можно воспользоваться теоремой косинусов или скалярным произведением векторов. Второй способ часто является более прямым в координатной геометрии. Косинус угла между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ определяется формулой:

$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$

где $\vec{u} \cdot \vec{v}$ — скалярное произведение векторов, а $|\vec{u}|$ и $|\vec{v}|$ — их длины (модули).

Найдем векторы, образующие углы треугольника.

Косинус угла A

Угол A образован векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

1. Найдем координаты векторов:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (-1 - 2; 5 - 8) = (-3; -3)$

$\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A) = (3 - 2; 1 - 8) = (1; -7)$

2. Найдем длины (модули) этих векторов:

$|\vec{AB}| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

$|\vec{AC}| = \sqrt{1^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

3. Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-3) \cdot 1 + (-3) \cdot (-7) = -3 + 21 = 18$

4. Найдем косинус угла A:

$\cos A = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} = \frac{18}{3\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{18}{15 \cdot 2} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}$

Ответ: $\frac{3}{5}$.

Косинус угла B

Угол B образован векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$.

1. Найдем координаты векторов:

$\vec{BA} = -\vec{AB} = -(-3; -3) = (3; 3)$

$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B) = (3 - (-1); 1 - 5) = (4; -4)$

2. Найдем длины векторов:

$|\vec{BA}| = |\vec{AB}| = 3\sqrt{2}$

$|\vec{BC}| = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$

3. Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = 3 \cdot 4 + 3 \cdot (-4) = 12 - 12 = 0$

4. Найдем косинус угла B:

$\cos B = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|} = \frac{0}{3\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2}} = 0$

Поскольку косинус угла равен нулю, угол B является прямым ($90^\circ$).

Ответ: $0$.

Косинус угла C

Угол C образован векторами $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$.

1. Найдем координаты векторов:

$\vec{CA} = -\vec{AC} = -(1; -7) = (-1; 7)$

$\vec{CB} = -\vec{BC} = -(4; -4) = (-4; 4)$

2. Найдем длины векторов:

$|\vec{CA}| = |\vec{AC}| = 5\sqrt{2}$

$|\vec{CB}| = |\vec{BC}| = 4\sqrt{2}$

3. Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{CA} \cdot \vec{CB} = (-1) \cdot (-4) + 7 \cdot 4 = 4 + 28 = 32$

4. Найдем косинус угла C:

$\cos C = \frac{\vec{CA} \cdot \vec{CB}}{|\vec{CA}| \cdot |\vec{CB}|} = \frac{32}{5\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2}} = \frac{32}{20 \cdot 2} = \frac{32}{40} = \frac{4}{5}$

Ответ: $\frac{4}{5}$.