Номер 1144, страница 290 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2023 - 2025

Уровень обучения: базовый

Цвет обложки: синий

ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 7 классе

112. Свойства скалярного произведения векторов. § 3. Скалярное произведение векторов. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 1144, страница 290.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№1144 (с. 290)
Условие. №1144 (с. 290)
скриншот условия
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 290, номер 1144, Условие Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 290, номер 1144, Условие (продолжение 2)

1144 Найдите угол, лежащий против основания равнобедренного треугольника, если медианы, проведённые к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны.

Решение

Пусть ABС — равнобедренный треугольник с основанием AB и AA₁, BB₁ — его медианы, проведённые к боковым сторонам (рис. 341). Введём обозначения CA1=a, CB1=b, CA1=CB1=a. Тогда АА=САСА=a2b, BB=СBСB=b2a, поэтому

AABB=(a2b)(b2a)=5ab2aa2bb.  (6)

Рисунок 341

По условию задачи AA₁BB₁ и, следовательно, ААВВ=0. Далее, ab=a² cos C, aa=a², bb=a², поэтому равенство (6) принимает вид 0=5a² cos С4а². Отсюда получаем cos C=45,С≈36°52′.

Решение 3. №1144 (с. 290)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 290, номер 1144, Решение 3
Решение 4. №1144 (с. 290)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 290, номер 1144, Решение 4
Решение 9. №1144 (с. 290)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 290, номер 1144, Решение 9
Решение 11. №1144 (с. 290)

Для решения задачи можно использовать несколько подходов. Рассмотрим два наиболее наглядных: векторный и координатный.

Метод 1: Векторный

Пусть $\triangle ABC$ — равнобедренный треугольник с основанием $AB$ и вершиной $C$. Искомый угол — $\angle C$. Введём векторы, исходящие из вершины $C$: $\vec{CB} = \vec{a}$ и $\vec{CA} = \vec{b}$. Так как треугольник равнобедренный, модули этих векторов равны: $|\vec{a}| = |\vec{b}| = l$.

Медианы $AA_1$ и $BB_1$ проведены к боковым сторонам $BC$ и $AC$. Точка $A_1$ — середина $BC$, $B_1$ — середина $AC$. Выразим векторы медиан:
$\vec{AA_1} = \vec{CA_1} - \vec{CA} = \frac{1}{2}\vec{CB} - \vec{CA} = \frac{1}{2}\vec{a} - \vec{b}$
$\vec{BB_1} = \vec{CB_1} - \vec{CB} = \frac{1}{2}\vec{CA} - \vec{CB} = \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a}$

По условию, медианы перпендикулярны, значит, их скалярное произведение равно нулю: $\vec{AA_1} \cdot \vec{BB_1} = 0$.

$(\frac{1}{2}\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a}) = 0$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения:
$\frac{1}{4}(\vec{a}\cdot\vec{b}) - \frac{1}{2}(\vec{a}\cdot\vec{a}) - \frac{1}{2}(\vec{b}\cdot\vec{b}) + (\vec{b}\cdot\vec{a}) = 0$
$\frac{5}{4}(\vec{a}\cdot\vec{b}) - \frac{1}{2}|\vec{a}|^2 - \frac{1}{2}|\vec{b}|^2 = 0$

Подставим $|\vec{a}| = |\vec{b}| = l$ и $\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos C = l^2\cos C$:

$\frac{5}{4}l^2\cos C - \frac{1}{2}l^2 - \frac{1}{2}l^2 = 0$

$\frac{5}{4}l^2\cos C - l^2 = 0$

Поскольку $l \neq 0$, делим на $l^2$ и получаем:
$\frac{5}{4}\cos C = 1 \implies \cos C = \frac{4}{5}$.

Ответ: Косинус угла, лежащего против основания, равен $\frac{4}{5}$. Сам угол равен $C = \arccos(\frac{4}{5}) \approx 36^\circ 52'$.

Метод 2: Координатный

Разместим треугольник в декартовой системе координат. Пусть основание $AB$ лежит на оси $x$, а вершина $C$ — на оси $y$. Если полудлина основания равна $b$, а высота равна $h$, то координаты вершин: $A(-b, 0)$, $B(b, 0)$, $C(0, h)$.

Координаты середин боковых сторон $A_1$ (середина $BC$) и $B_1$ (середина $AC$):
$A_1 = (\frac{b+0}{2}, \frac{0+h}{2}) = (\frac{b}{2}, \frac{h}{2})$
$B_1 = (\frac{-b+0}{2}, \frac{0+h}{2}) = (-\frac{b}{2}, \frac{h}{2})$

Координаты векторов медиан $\vec{AA_1}$ и $\vec{BB_1}$:
$\vec{AA_1} = \{\frac{b}{2} - (-b), \frac{h}{2} - 0\} = \{\frac{3b}{2}, \frac{h}{2}\}$
$\vec{BB_1} = \{-\frac{b}{2} - b, \frac{h}{2} - 0\} = \{-\frac{3b}{2}, \frac{h}{2}\}$

Из условия перпендикулярности $AA_1 \perp BB_1$ следует, что скалярное произведение векторов равно нулю:

$(\frac{3b}{2}) \cdot (-\frac{3b}{2}) + (\frac{h}{2}) \cdot (\frac{h}{2}) = 0 \implies -\frac{9b^2}{4} + \frac{h^2}{4} = 0 \implies h^2 = 9b^2 \implies h=3b$.

Угол $C$ — это угол между векторами $\vec{CA}=\{-b, -h\}$ и $\vec{CB}=\{b, -h\}$. Найдём его косинус:

$\cos C = \frac{\vec{CA} \cdot \vec{CB}}{|\vec{CA}| \cdot |\vec{CB}|} = \frac{(-b)(b) + (-h)(-h)}{\sqrt{b^2+h^2}\sqrt{b^2+h^2}} = \frac{-b^2+h^2}{b^2+h^2}$

Подставив $h^2 = 9b^2$, получим:

$\cos C = \frac{-b^2 + 9b^2}{b^2 + 9b^2} = \frac{8b^2}{10b^2} = \frac{4}{5}$.

Ответ: Косинус угла, лежащего против основания, равен $\frac{4}{5}$. Сам угол равен $C = \arccos(\frac{4}{5}) \approx 36^\circ 52'$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 1144 расположенного на странице 290 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №1144 (с. 290), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться