Номер 1144, страница 290 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 7 классе
112. Свойства скалярного произведения векторов. § 3. Скалярное произведение векторов. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 1144, страница 290.
№1144 (с. 290)
Условие. №1144 (с. 290)
скриншот условия


1144 Найдите угол, лежащий против основания равнобедренного треугольника, если медианы, проведённые к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны.
Решение
Пусть ABС — равнобедренный треугольник с основанием AB и AA₁, BB₁ — его медианы, проведённые к боковым сторонам (рис. 341). Введём обозначения Тогда поэтому

По условию задачи AA₁⊥BB₁ и, следовательно, Далее, поэтому равенство (6) принимает вид Отсюда получаем ∠С≈36°52′.
Решение 3. №1144 (с. 290)

Решение 4. №1144 (с. 290)

Решение 9. №1144 (с. 290)

Решение 11. №1144 (с. 290)
Для решения задачи можно использовать несколько подходов. Рассмотрим два наиболее наглядных: векторный и координатный.
Метод 1: ВекторныйПусть $\triangle ABC$ — равнобедренный треугольник с основанием $AB$ и вершиной $C$. Искомый угол — $\angle C$. Введём векторы, исходящие из вершины $C$: $\vec{CB} = \vec{a}$ и $\vec{CA} = \vec{b}$. Так как треугольник равнобедренный, модули этих векторов равны: $|\vec{a}| = |\vec{b}| = l$.
Медианы $AA_1$ и $BB_1$ проведены к боковым сторонам $BC$ и $AC$. Точка $A_1$ — середина $BC$, $B_1$ — середина $AC$. Выразим векторы медиан:
$\vec{AA_1} = \vec{CA_1} - \vec{CA} = \frac{1}{2}\vec{CB} - \vec{CA} = \frac{1}{2}\vec{a} - \vec{b}$
$\vec{BB_1} = \vec{CB_1} - \vec{CB} = \frac{1}{2}\vec{CA} - \vec{CB} = \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a}$
По условию, медианы перпендикулярны, значит, их скалярное произведение равно нулю: $\vec{AA_1} \cdot \vec{BB_1} = 0$.
$(\frac{1}{2}\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a}) = 0$
Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения:
$\frac{1}{4}(\vec{a}\cdot\vec{b}) - \frac{1}{2}(\vec{a}\cdot\vec{a}) - \frac{1}{2}(\vec{b}\cdot\vec{b}) + (\vec{b}\cdot\vec{a}) = 0$
$\frac{5}{4}(\vec{a}\cdot\vec{b}) - \frac{1}{2}|\vec{a}|^2 - \frac{1}{2}|\vec{b}|^2 = 0$
Подставим $|\vec{a}| = |\vec{b}| = l$ и $\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos C = l^2\cos C$:
$\frac{5}{4}l^2\cos C - \frac{1}{2}l^2 - \frac{1}{2}l^2 = 0$
$\frac{5}{4}l^2\cos C - l^2 = 0$
Поскольку $l \neq 0$, делим на $l^2$ и получаем:
$\frac{5}{4}\cos C = 1 \implies \cos C = \frac{4}{5}$.
Ответ: Косинус угла, лежащего против основания, равен $\frac{4}{5}$. Сам угол равен $C = \arccos(\frac{4}{5}) \approx 36^\circ 52'$.
Метод 2: КоординатныйРазместим треугольник в декартовой системе координат. Пусть основание $AB$ лежит на оси $x$, а вершина $C$ — на оси $y$. Если полудлина основания равна $b$, а высота равна $h$, то координаты вершин: $A(-b, 0)$, $B(b, 0)$, $C(0, h)$.
Координаты середин боковых сторон $A_1$ (середина $BC$) и $B_1$ (середина $AC$):
$A_1 = (\frac{b+0}{2}, \frac{0+h}{2}) = (\frac{b}{2}, \frac{h}{2})$
$B_1 = (\frac{-b+0}{2}, \frac{0+h}{2}) = (-\frac{b}{2}, \frac{h}{2})$
Координаты векторов медиан $\vec{AA_1}$ и $\vec{BB_1}$:
$\vec{AA_1} = \{\frac{b}{2} - (-b), \frac{h}{2} - 0\} = \{\frac{3b}{2}, \frac{h}{2}\}$
$\vec{BB_1} = \{-\frac{b}{2} - b, \frac{h}{2} - 0\} = \{-\frac{3b}{2}, \frac{h}{2}\}$
Из условия перпендикулярности $AA_1 \perp BB_1$ следует, что скалярное произведение векторов равно нулю:
$(\frac{3b}{2}) \cdot (-\frac{3b}{2}) + (\frac{h}{2}) \cdot (\frac{h}{2}) = 0 \implies -\frac{9b^2}{4} + \frac{h^2}{4} = 0 \implies h^2 = 9b^2 \implies h=3b$.
Угол $C$ — это угол между векторами $\vec{CA}=\{-b, -h\}$ и $\vec{CB}=\{b, -h\}$. Найдём его косинус:
$\cos C = \frac{\vec{CA} \cdot \vec{CB}}{|\vec{CA}| \cdot |\vec{CB}|} = \frac{(-b)(b) + (-h)(-h)}{\sqrt{b^2+h^2}\sqrt{b^2+h^2}} = \frac{-b^2+h^2}{b^2+h^2}$
Подставив $h^2 = 9b^2$, получим:
$\cos C = \frac{-b^2 + 9b^2}{b^2 + 9b^2} = \frac{8b^2}{10b^2} = \frac{4}{5}$.
Ответ: Косинус угла, лежащего против основания, равен $\frac{4}{5}$. Сам угол равен $C = \arccos(\frac{4}{5}) \approx 36^\circ 52'$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 1144 расположенного на странице 290 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №1144 (с. 290), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.