Номер 1139, страница 289 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

112. Свойства скалярного произведения векторов. § 3. Скалярное произведение векторов. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 1139, страница 289.

1139 Вычислите | a + b | и | a − b |, если | a | = 5, | b | = 8, аb︿ = 60°.

Для вычисления модулей суммы и разности векторов воспользуемся свойством скалярного произведения векторов: квадрат модуля вектора равен его скалярному квадрату. То есть, для любого вектора $\vec{c}$ справедливо равенство $|\vec{c}|^2 = \vec{c} \cdot \vec{c}$.

Также нам понадобится определение скалярного произведения через модули векторов и косинус угла между ними: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$.

Сначала вычислим скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, используя данные из условия: $|\vec{a}| = 5$, $|\vec{b}| = 8$ и угол $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}}) = 60^\circ$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ) = 40 \cdot \frac{1}{2} = 20$.

$|\vec{a} + \vec{b}|$

Чтобы найти модуль суммы векторов $|\vec{a} + \vec{b}|$, возведем его в квадрат. Используя формулу квадрата суммы и свойства скалярного произведения, получаем:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$.

Теперь подставим известные значения в полученное выражение:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 5^2 + 2 \cdot 20 + 8^2 = 25 + 40 + 64 = 129$.

Следовательно, модуль суммы векторов равен корню из этого значения:

$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{129}$.

Ответ: $\sqrt{129}$.

$|\vec{a} - \vec{b}|$

Чтобы найти модуль разности векторов $|\vec{a} - \vec{b}|$, поступим аналогично, возведя его в квадрат:

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$.

Подставим известные значения:

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 5^2 - 2 \cdot 20 + 8^2 = 25 - 40 + 64 = 49$.

Извлекая квадратный корень, находим модуль разности векторов:

$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{49} = 7$.

Ответ: $7$.