Номер 1141, страница 289 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

112. Свойства скалярного произведения векторов. § 3. Скалярное произведение векторов. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 1141, страница 289.

1141 Вычислите скалярное произведение векторов p = a − b − с и q = a − b + с, если | a | = 5, | b | = 2, | с | = 4 и a ⊥ b.

Для вычисления скалярного произведения векторов $\vec{p}$ и $\vec{q}$ необходимо найти произведение $(\vec{a} - \vec{b} - \vec{c}) \cdot (\vec{a} - \vec{b} + \vec{c})$.

Воспользуемся свойствами скалярного произведения. Заметим, что выражение можно сгруппировать и применить формулу разности квадратов: $(X - Y) \cdot (X + Y) = X^2 - Y^2$. Пусть $X = (\vec{a} - \vec{b})$ и $Y = \vec{c}$.

$\vec{p} \cdot \vec{q} = ((\vec{a} - \vec{b}) - \vec{c}) \cdot ((\vec{a} - \vec{b}) + \vec{c}) = (\vec{a} - \vec{b})^2 - \vec{c}^2$

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля: $\vec{v}^2 = \vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2$. Таким образом, получаем:

$\vec{p} \cdot \vec{q} = |\vec{a} - \vec{b}|^2 - |\vec{c}|^2$

Теперь раскроем квадрат модуля разности векторов $|\vec{a} - \vec{b}|^2$:

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$

По условию задачи нам даны модули векторов:

$|\vec{a}| = 5$

$|\vec{b}| = 2$

$|\vec{c}| = 4$

Также известно, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны ($\vec{a} \perp \vec{b}$). Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

Теперь подставим все известные значения в наши выражения.

Сначала вычислим $|\vec{a} - \vec{b}|^2$:

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = 5^2 - 2(0) + 2^2 = 25 - 0 + 4 = 29$

Теперь вычислим итоговое скалярное произведение $\vec{p} \cdot \vec{q}$:

$\vec{p} \cdot \vec{q} = |\vec{a} - \vec{b}|^2 - |\vec{c}|^2 = 29 - 4^2 = 29 - 16 = 13$

Ответ: 13