Номер 1140, страница 289 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 3. Скалярное произведение векторов. 112. Свойства скалярного произведения векторов - номер 1140, страница 289.

Условие.

1140 Известно, что ас︿ = bс︿ = 60°, | a | = 1, | b | = | c | = 2. Вычислите (a + b) ⋅ с.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 11.

Для решения задачи воспользуемся свойством дистрибутивности (распределительности) скалярного произведения относительно сложения векторов. Это свойство позволяет нам раскрыть скобки в выражении $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c}$:

$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$

Теперь нам нужно вычислить каждое из двух скалярных произведений: $\vec{a} \cdot \vec{c}$ и $\vec{b} \cdot \vec{c}$.

Скалярное произведение двух векторов определяется как произведение их модулей (длин) на косинус угла между ними. Формула имеет вид: $\vec{x} \cdot \vec{y} = |\vec{x}| |\vec{y}| \cos(\widehat{\vec{x}\vec{y}})$.

Из условия задачи нам известны следующие данные:

• $|\vec{a}| = 1$
• $|\vec{b}| = 2$
• $|\vec{c}| = 2$
• Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{c}$ равен $60^\circ$ ($\widehat{\vec{a}\vec{c}}=60^\circ$).
• Угол между векторами $\vec{b}$ и $\vec{c}$ равен $60^\circ$ ($\widehat{\vec{b}\vec{c}}=60^\circ$).

Значение косинуса $60^\circ$ равно $\frac{1}{2}$.

Вычислим $\vec{a} \cdot \vec{c}$:

Подставляем известные значения в формулу скалярного произведения:

$\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{a}| \cdot |\vec{c}| \cdot \cos(\widehat{\vec{a}\vec{c}}) = 1 \cdot 2 \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$

Вычислим $\vec{b} \cdot \vec{c}$:

Аналогично подставляем значения для векторов $\vec{b}$ и $\vec{c}$:

$\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}| \cdot |\vec{c}| \cdot \cos(\widehat{\vec{b}\vec{c}}) = 2 \cdot 2 \cdot \cos(60^\circ) = 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 2$

Найдем итоговое значение:

Теперь сложим полученные результаты, чтобы найти значение исходного выражения:

$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c} = 1 + 2 = 3$

Ответ: 3