Номер 1142, страница 289 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

112. Свойства скалярного произведения векторов. § 3. Скалярное произведение векторов. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 1142, страница 289.

1142 Вычислите скалярное произведение векторов a и b, если a = 3p − 2q и b = p + 4q, где p и q — единичные взаимно перпендикулярные векторы.

Для вычисления скалярного произведения векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ необходимо использовать их выражения через векторы $\vec{p}$ и $\vec{q}$, а также свойства этих векторов, указанные в условии.

По условию, векторы $\vec{p}$ и $\vec{q}$ — единичные. Это значит, что их длины (модули) равны 1. Скалярное произведение вектора на самого себя (скалярный квадрат) равно квадрату его длины, поэтому: $|\vec{p}| = 1 \implies \vec{p} \cdot \vec{p} = |\vec{p}|^2 = 1^2 = 1$ $|\vec{q}| = 1 \implies \vec{q} \cdot \vec{q} = |\vec{q}|^2 = 1^2 = 1$

Также по условию, векторы $\vec{p}$ и $\vec{q}$ взаимно перпендикулярны. Скалярное произведение перпендикулярных векторов всегда равно нулю: $\vec{p} \perp \vec{q} \implies \vec{p} \cdot \vec{q} = 0$. Поскольку скалярное произведение коммутативно (то есть $\vec{x} \cdot \vec{y} = \vec{y} \cdot \vec{x}$), то и $\vec{q} \cdot \vec{p} = 0$.

Теперь найдём скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, подставив их выражения: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (3\vec{p} - 2\vec{q}) \cdot (\vec{p} + 4\vec{q})$

Используя свойство дистрибутивности скалярного произведения (раскрывая скобки как произведение многочленов), получаем: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (3\vec{p}) \cdot \vec{p} + (3\vec{p}) \cdot (4\vec{q}) - (2\vec{q}) \cdot \vec{p} - (2\vec{q}) \cdot (4\vec{q})$

Вынесем скалярные множители за знак произведения: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3(\vec{p} \cdot \vec{p}) + 12(\vec{p} \cdot \vec{q}) - 2(\vec{q} \cdot \vec{p}) - 8(\vec{q} \cdot \vec{q})$

Подставим ранее определённые значения для скалярных произведений $\vec{p} \cdot \vec{p}$, $\vec{q} \cdot \vec{q}$ и $\vec{p} \cdot \vec{q}$: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3(1) + 12(0) - 2(0) - 8(1)$

Выполним арифметические действия: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 + 0 - 0 - 8 = -5$

Ответ: -5