Номер 1138, страница 289 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

112. Свойства скалярного произведения векторов. § 3. Скалярное произведение векторов. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 1138, страница 289.

1138 Найдите углы треугольника с вершинами A(-1; 3), B(1; -3) и C12; 3.

Для нахождения углов треугольника с заданными вершинами $A(-1; \sqrt{3})$, $B(1; -\sqrt{3})$ и $C(\frac{1}{2}; \sqrt{3})$, мы сначала вычислим длины его сторон, а затем применим теорему косинусов.

Длину отрезка между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ на плоскости находят по формуле $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$. Для удобства будем сначала вычислять квадраты длин сторон.

Квадрат длины стороны $AB$, лежащей напротив вершины $C$ (обозначим ее $c$):
$c^2 = |AB|^2 = (1 - (-1))^2 + (-\sqrt{3} - \sqrt{3})^2 = 2^2 + (-2\sqrt{3})^2 = 4 + 4 \cdot 3 = 16$.
Отсюда длина стороны $c = \sqrt{16} = 4$.

Квадрат длины стороны $BC$, лежащей напротив вершины $A$ (обозначим ее $a$):
$a^2 = |BC|^2 = (\frac{1}{2} - 1)^2 + (\sqrt{3} - (-\sqrt{3}))^2 = (-\frac{1}{2})^2 + (2\sqrt{3})^2 = \frac{1}{4} + 12 = \frac{1}{4} + \frac{48}{4} = \frac{49}{4}$.
Отсюда длина стороны $a = \sqrt{\frac{49}{4}} = \frac{7}{2}$.

Квадрат длины стороны $AC$, лежащей напротив вершины $B$ (обозначим ее $b$):
$b^2 = |AC|^2 = (\frac{1}{2} - (-1))^2 + (\sqrt{3} - \sqrt{3})^2 = (\frac{3}{2})^2 + 0^2 = \frac{9}{4}$.
Отсюда длина стороны $b = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$.

Теперь, зная длины всех сторон ($a = \frac{7}{2}$, $b = \frac{3}{2}$, $c = 4$), найдем углы треугольника с помощью теоремы косинусов. Формула для косинуса угла $A$: $\cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.

Вычислим косинус угла $A$ при вершине $A$:
$\cos(A) = \frac{\frac{9}{4} + 16 - \frac{49}{4}}{2 \cdot \frac{3}{2} \cdot 4} = \frac{\frac{9 + 64 - 49}{4}}{12} = \frac{\frac{24}{4}}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
Следовательно, $\angle A = \arccos(\frac{1}{2}) = 60^\circ$.

Вычислим косинус угла $B$ при вершине $B$:
$\cos(B) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{\frac{49}{4} + 16 - \frac{9}{4}}{2 \cdot \frac{7}{2} \cdot 4} = \frac{\frac{49 + 64 - 9}{4}}{28} = \frac{\frac{104}{4}}{28} = \frac{26}{28} = \frac{13}{14}$.
Следовательно, $\angle B = \arccos(\frac{13}{14})$.

Вычислим косинус угла $C$ при вершине $C$:
$\cos(C) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{\frac{49}{4} + \frac{9}{4} - 16}{2 \cdot \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{2}} = \frac{\frac{58 - 64}{4}}{\frac{21}{2}} = \frac{-\frac{6}{4}}{\frac{21}{2}} = \frac{-\frac{3}{2}}{\frac{21}{2}} = -\frac{3}{21} = -\frac{1}{7}$.
Следовательно, $\angle C = \arccos(-\frac{1}{7})$.

Ответ: $60^\circ$, $\arccos(\frac{13}{14})$, $\arccos(-\frac{1}{7})$.