Номер 1131, страница 288 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 3. Скалярное произведение векторов. 112. Свойства скалярного произведения векторов - номер 1131, страница 288.

Условие.

1131 В равностороннем треугольнике ABC со стороной а проведена высота BD. Вычислите скалярное произведение векторов:
а) AB ⋅ АС; б) АС ⋅ СВ; в) AC ⋅ BD; г) АС ⋅ АС.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 11.

В равностороннем треугольнике $ABC$ все стороны равны по длине $a$, и все внутренние углы равны $60^\circ$. Таким образом, $|\vec{AB}| = |\vec{BC}| = |\vec{AC}| = a$, а $\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$. Скалярное произведение двух векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$ вычисляется по формуле $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между векторами.

а) Требуется найти скалярное произведение $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$. Длины векторов равны $|\vec{AB}| = a$ и $|\vec{AC}| = a$. Угол между этими векторами — это угол при вершине $A$, который равен $60^\circ$.
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\angle A) = a \cdot a \cdot \cos(60^\circ) = a^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$.
Ответ: $\frac{a^2}{2}$.

б) Требуется найти скалярное произведение $\vec{AC} \cdot \vec{CB}$. Длины векторов равны $|\vec{AC}| = a$ и $|\vec{CB}| = a$. Чтобы найти угол между этими векторами, их необходимо отложить от одной точки. Вектор $\vec{AC}$ направлен к точке $C$, а вектор $\vec{CB}$ направлен от точки $C$. Угол между ними равен внешнему углу треугольника при вершине $C$, то есть $180^\circ - \angle C = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
$\vec{AC} \cdot \vec{CB} = |\vec{AC}| \cdot |\vec{CB}| \cdot \cos(120^\circ) = a \cdot a \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{a^2}{2}$.
Ответ: $-\frac{a^2}{2}$.

в) Требуется найти скалярное произведение $\vec{AC} \cdot \vec{BD}$. По условию, $BD$ — это высота, проведенная к стороне $AC$. По определению высоты, $BD \perp AC$. Это означает, что векторы $\vec{BD}$ и $\vec{AC}$ перпендикулярны. Угол между перпендикулярными векторами равен $90^\circ$, а $\cos(90^\circ) = 0$.
Скалярное произведение перпендикулярных векторов всегда равно нулю: $\vec{AC} \cdot \vec{BD} = |\vec{AC}| \cdot |\vec{BD}| \cdot \cos(90^\circ) = 0$.
Ответ: $0$.

г) Требуется найти скалярное произведение $\vec{AC} \cdot \vec{AC}$. Это скалярный квадрат вектора $\vec{AC}$. Угол между вектором и им самим равен $0^\circ$, и $\cos(0^\circ)=1$. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.
$\vec{AC} \cdot \vec{AC} = |\vec{AC}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(0^\circ) = |\vec{AC}|^2 = a^2$.
Ответ: $a^2$.