Номер 1126, страница 283 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника. 108. Измерительные работы. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 1126, страница 283.

1126 Для определения ширины реки отметили два пункта A и B на берегу реки на расстоянии 70 м друг от друга и измерили углы CAB и ABC, где С — дерево, стоящее на другом берегу у кромки воды. Оказалось, что ∠СAB = 12°30′, ∠ABС = 72°42′. Найдите ширину реки.

Для решения задачи представим ситуацию в виде треугольника $ABC$, где точки $A$ и $B$ находятся на одном берегу реки, а точка $C$ (дерево) — на другом. Расстояние между точками $A$ и $B$ — это сторона $AB$ треугольника.

Дано:

• Сторона $AB$ (обозначим ее $c$) = 70 м.
• $\angle CAB$ (угол $A$) = $12^\circ30'$.
• $\angle ABC$ (угол $B$) = $72^\circ42'$.

Ширина реки — это высота $h$, опущенная из вершины $C$ на сторону $AB$.

1. Найдем третий угол треугольника.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Угол $\angle ACB$ (угол $C$) равен:

$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (12^\circ30' + 72^\circ42')$

Сначала сложим углы $A$ и $B$:

$12^\circ30' + 72^\circ42' = (12+72)^\circ(30+42)' = 84^\circ72'$.

Так как $60' = 1^\circ$, то $72' = 1^\circ12'$.

Следовательно, $84^\circ72' = 85^\circ12'$.

Теперь найдем угол $C$:

$\angle C = 180^\circ - 85^\circ12' = 179^\circ60' - 85^\circ12' = 94^\circ48'$.

2. Найдем ширину реки (высоту $h$).

Мы можем найти высоту $h$ через стороны и углы треугольника. Сначала найдем одну из сторон, прилежащих к углу $A$ или $B$, например, сторону $AC$ (обозначим ее $b$), используя теорему синусов:

$\frac{b}{\sin(\angle B)} = \frac{c}{\sin(\angle C)}$

$b = \frac{c \cdot \sin(\angle B)}{\sin(\angle C)}$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $h$ и стороной $b$. В этом треугольнике высота $h$ является катетом, противолежащим углу $A$. Таким образом:

$\sin(\angle A) = \frac{h}{b}$, откуда $h = b \cdot \sin(\angle A)$.

Подставим выражение для $b$ в эту формулу:

$h = \left( \frac{c \cdot \sin(\angle B)}{\sin(\angle C)} \right) \cdot \sin(\angle A) = \frac{c \cdot \sin(\angle A) \cdot \sin(\angle B)}{\sin(\angle C)}$

3. Выполним вычисления.

Для удобства вычислений переведем углы в десятичные градусы:

$\angle A = 12^\circ30' = 12.5^\circ$

$\angle B = 72^\circ42' = 72 + \frac{42}{60} = 72.7^\circ$

$\angle C = 94^\circ48' = 94 + \frac{48}{60} = 94.8^\circ$

Подставим значения в формулу для $h$:

$h = \frac{70 \cdot \sin(12.5^\circ) \cdot \sin(72.7^\circ)}{\sin(94.8^\circ)}$

Используя калькулятор, найдем значения синусов:

$\sin(12.5^\circ) \approx 0.21644$

$\sin(72.7^\circ) \approx 0.95474$

$\sin(94.8^\circ) \approx 0.99652$

Вычислим $h$:

$h \approx \frac{70 \cdot 0.21644 \cdot 0.95474}{0.99652} \approx \frac{14.4638}{0.99652} \approx 14.514$ м.

Округлим результат до сотых.

Ответ: ширина реки примерно равна 14,51 м.