Страница 283 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

1123 В равнобедренной трапеции меньшее основание равно боковой стороне, большее основание равно 10 см, а угол при основании равен 70°. Найдите периметр трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$, где $AD$ — большее основание, а $BC$ — меньшее. По условию задачи меньшее основание равно боковой стороне, то есть $BC = AB = CD$. Обозначим эту длину как $x$. Также известно, что большее основание $AD = 10$ см, а угол при основании, например $\angle D$, равен $70^\circ$. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны, поэтому $\angle A = \angle D = 70^\circ$.

Периметр трапеции $P$ равен сумме длин всех ее сторон: $P = AB + BC + CD + AD$. Подставляя наши обозначения, получаем: $P = x + x + x + 10 = 3x + 10$. Для нахождения периметра необходимо найти значение $x$.

Проведем из вершин $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ на большее основание $AD$. Так как $BC$ параллельно $AD$ и $BH$, $CK$ перпендикулярны $AD$, то четырехугольник $HBCK$ является прямоугольником. Следовательно, $HK = BC = x$.

Треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ являются прямоугольными и равными, так как трапеция равнобедренная (гипотенузы $AB$ и $CD$ равны, высоты $BH$ и $CK$ равны). Из равенства треугольников следует равенство катетов: $AH = KD$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CKD$. Гипотенуза $CD = x$, а угол $\angle D = 70^\circ$. Катет $KD$ является прилежащим к этому углу. Из определения косинуса имеем: $\cos(\angle D) = \frac{KD}{CD}$, или $\cos(70^\circ) = \frac{KD}{x}$. Отсюда находим $KD = x \cdot \cos(70^\circ)$.

Большее основание $AD$ состоит из трех отрезков: $AD = AH + HK + KD$. Учитывая, что $AH = KD$ и $HK = x$, получаем: $AD = KD + x + KD = x + 2 \cdot KD$.

Подставим известные значения и полученные выражения в эту формулу: $10 = x + 2 \cdot (x \cdot \cos(70^\circ))$.

Решим это уравнение относительно $x$. Вынесем $x$ за скобки: $10 = x(1 + 2\cos(70^\circ))$.

Отсюда находим длину боковой стороны и меньшего основания: $x = \frac{10}{1 + 2\cos(70^\circ)}$ см.

Теперь можем вычислить периметр трапеции: $P = 3x + 10 = 3 \cdot \frac{10}{1 + 2\cos(70^\circ)} + 10 = \frac{30}{1 + 2\cos(70^\circ)} + 10$ см.

Ответ: Периметр трапеции равен $\left(\frac{30}{1 + 2\cos(70^\circ)} + 10\right)$ см.

1124 В окружности проведены хорды AB и CD, пересекающиеся в точке Е. Найдите острый угол между этими хордами, если AB = 13 см, СЕ = 9 см, ED = 4 см и расстояние между точками В и D равно 43 см.

Пусть хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$. По условию задачи нам даны следующие длины: $AB = 13$ см, $CE = 9$ см, $ED = 4$ см, и расстояние между точками $B$ и $D$, то есть длина хорды $BD$, равно $4\sqrt{3}$ см.

Воспользуемся свойством пересекающихся хорд в окружности, которое гласит, что произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: $AE \cdot EB = CE \cdot ED$

Подставим известные значения для хорды $CD$: $CE \cdot ED = 9 \cdot 4 = 36$ см$^2$. Следовательно, для хорды $AB$ также выполняется равенство: $AE \cdot EB = 36$.

Мы также знаем, что длина хорды $AB$ равна сумме длин ее отрезков: $AE + EB = 13$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными, $AE$ и $EB$: $ \begin{cases} AE + EB = 13 \\ AE \cdot EB = 36 \end{cases} $ Решая эту систему (например, по теореме Виета для квадратного уравнения $t^2 - 13t + 36 = 0$), находим, что длины отрезков $AE$ и $EB$ равны 4 см и 9 см.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle BED$. Мы хотим найти угол между хордами, одним из которых является $\angle BED$. Стороны этого треугольника: $EB$, $ED$ и $BD$. Нам известно, что $ED = 4$ см и $BD = 4\sqrt{3}$ см. Длина отрезка $EB$ может быть либо 4 см, либо 9 см. Рассмотрим случай, когда $EB = 4$ см.

Таким образом, в треугольнике $\triangle BED$ известны все три стороны: $EB = 4$ см, $ED = 4$ см, $BD = 4\sqrt{3}$ см. Применим теорему косинусов для нахождения угла $\angle BED$: $BD^2 = EB^2 + ED^2 - 2 \cdot EB \cdot ED \cdot \cos(\angle BED)$

Подставим значения длин сторон: $(4\sqrt{3})^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \cos(\angle BED)$ $16 \cdot 3 = 16 + 16 - 32 \cdot \cos(\angle BED)$ $48 = 32 - 32 \cdot \cos(\angle BED)$ $48 - 32 = -32 \cdot \cos(\angle BED)$ $16 = -32 \cdot \cos(\angle BED)$ $\cos(\angle BED) = \frac{16}{-32} = -\frac{1}{2}$

Из этого следует, что угол $\angle BED$ является тупым и равен $120^\circ$.

Углы между пересекающимися хордами являются смежными, и их сумма равна $180^\circ$. Один из углов равен $\angle BED = 120^\circ$, а другой — $\angle CEB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. По условию задачи требуется найти острый угол. Острый угол равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

1125 Наблюдатель находится на расстоянии 50 м от башни, высоту которой хочет определить (рис. 334). Основание башни он видит под углом 2° к горизонту, а вершину — под углом 45° к горизонту. Какова высота башни?

Пусть высота башни равна $h$. Согласно рисунку и условию задачи, общая высота башни складывается из двух частей:

1. Часть башни выше уровня глаз наблюдателя. Обозначим ее $h_1$.
2. Часть башни ниже уровня глаз наблюдателя. Обозначим ее $h_2$.

Таким образом, полная высота башни $h = h_1 + h_2$.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника, которые образуются линиями взгляда наблюдателя, горизонтальной линией на уровне его глаз и вертикальной линией башни. Горизонтальное расстояние от наблюдателя до башни является общим катетом для обоих треугольников и равно $50$ м.

1. Найдем высоту $h_1$.
В верхнем прямоугольном треугольнике катет $h_1$ является противолежащим углу $45^\circ$, а катет, равный $50$ м, — прилежащим.
Соотношение между ними выражается через тангенс угла:
$\tan(45^\circ) = \frac{h_1}{50}$
Поскольку $\tan(45^\circ) = 1$, получаем:
$1 = \frac{h_1}{50}$
Следовательно, $h_1 = 50$ м.

2. Найдем высоту $h_2$.
В нижнем прямоугольном треугольнике катет $h_2$ является противолежащим углу $2^\circ$, а катет, равный $50$ м, — прилежащим.
Аналогично, используем тангенс угла:
$\tan(2^\circ) = \frac{h_2}{50}$
Отсюда $h_2 = 50 \cdot \tan(2^\circ)$.

3. Найдем общую высоту башни $h$.
$h = h_1 + h_2 = 50 + 50 \cdot \tan(2^\circ) = 50(1 + \tan(2^\circ))$.
Для вычисления численного значения используем приближенное значение $\tan(2^\circ) \approx 0,0349$.
$h \approx 50 \cdot (1 + 0,0349) = 50 \cdot 1,0349 = 51,745$ м.
Округлим результат до сотых: $51,75$ м.

Ответ: высота башни примерно равна 51,75 м.

1126 Для определения ширины реки отметили два пункта A и B на берегу реки на расстоянии 70 м друг от друга и измерили углы CAB и ABC, где С — дерево, стоящее на другом берегу у кромки воды. Оказалось, что ∠СAB = 12°30′, ∠ABС = 72°42′. Найдите ширину реки.

Для решения задачи представим ситуацию в виде треугольника $ABC$, где точки $A$ и $B$ находятся на одном берегу реки, а точка $C$ (дерево) — на другом. Расстояние между точками $A$ и $B$ — это сторона $AB$ треугольника.

Дано:

• Сторона $AB$ (обозначим ее $c$) = 70 м.
• $\angle CAB$ (угол $A$) = $12^\circ30'$.
• $\angle ABC$ (угол $B$) = $72^\circ42'$.

Ширина реки — это высота $h$, опущенная из вершины $C$ на сторону $AB$.

1. Найдем третий угол треугольника.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Угол $\angle ACB$ (угол $C$) равен:

$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (12^\circ30' + 72^\circ42')$

Сначала сложим углы $A$ и $B$:

$12^\circ30' + 72^\circ42' = (12+72)^\circ(30+42)' = 84^\circ72'$.

Так как $60' = 1^\circ$, то $72' = 1^\circ12'$.

Следовательно, $84^\circ72' = 85^\circ12'$.

Теперь найдем угол $C$:

$\angle C = 180^\circ - 85^\circ12' = 179^\circ60' - 85^\circ12' = 94^\circ48'$.

2. Найдем ширину реки (высоту $h$).

Мы можем найти высоту $h$ через стороны и углы треугольника. Сначала найдем одну из сторон, прилежащих к углу $A$ или $B$, например, сторону $AC$ (обозначим ее $b$), используя теорему синусов:

$\frac{b}{\sin(\angle B)} = \frac{c}{\sin(\angle C)}$

$b = \frac{c \cdot \sin(\angle B)}{\sin(\angle C)}$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $h$ и стороной $b$. В этом треугольнике высота $h$ является катетом, противолежащим углу $A$. Таким образом:

$\sin(\angle A) = \frac{h}{b}$, откуда $h = b \cdot \sin(\angle A)$.

Подставим выражение для $b$ в эту формулу:

$h = \left( \frac{c \cdot \sin(\angle B)}{\sin(\angle C)} \right) \cdot \sin(\angle A) = \frac{c \cdot \sin(\angle A) \cdot \sin(\angle B)}{\sin(\angle C)}$

3. Выполним вычисления.

Для удобства вычислений переведем углы в десятичные градусы:

$\angle A = 12^\circ30' = 12.5^\circ$

$\angle B = 72^\circ42' = 72 + \frac{42}{60} = 72.7^\circ$

$\angle C = 94^\circ48' = 94 + \frac{48}{60} = 94.8^\circ$

Подставим значения в формулу для $h$:

$h = \frac{70 \cdot \sin(12.5^\circ) \cdot \sin(72.7^\circ)}{\sin(94.8^\circ)}$

Используя калькулятор, найдем значения синусов:

$\sin(12.5^\circ) \approx 0.21644$

$\sin(72.7^\circ) \approx 0.95474$

$\sin(94.8^\circ) \approx 0.99652$

Вычислим $h$:

$h \approx \frac{70 \cdot 0.21644 \cdot 0.95474}{0.99652} \approx \frac{14.4638}{0.99652} \approx 14.514$ м.

Округлим результат до сотых.

Ответ: ширина реки примерно равна 14,51 м.

1127 На горе находится башня, высота которой равна 100 м (рис. 335). Некоторый предмет А у подножия горы наблюдают сначала с вершины В башни под углом 60° к горизонту, а потом с её основания С под углом 30°. Найдите высоту Н горы.

Для решения задачи введем обозначения в соответствии с рисунком. Пусть $A$ — точка наблюдения у подножия горы, $C$ — основание башни (вершина горы), а $B$ — вершина башни.

Обозначим искомую высоту горы за $H$. По условию задачи, высота башни $BC = 100$ м. Проведем вертикальную линию через точки $B$ и $C$. Пусть $D$ — точка на уровне подножия горы на этой вертикали. Тогда $AD$ — это горизонтальное расстояние, а $CD$ — высота горы, $CD=H$. Треугольник $ADC$ — прямоугольный. Полная высота от вершины башни до уровня подножия горы равна $BD = BC + CD = 100 + H$. Треугольник $ADB$ также является прямоугольным.

Углы наблюдения $60°$ и $30°$ даны к горизонту, это так называемые углы понижения. Угол понижения из точки $C$ к точке $A$ равен $30°$. Так как горизонтальная линия, проведенная через $C$, параллельна $AD$, то по свойству накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей $AC$, угол $?CAD = 30°$. Аналогично, угол понижения из точки $B$ равен $60°$, поэтому угол $?BAD = 60°$.

Задачу можно решить несколькими способами.

Способ 1. Через систему уравнений с тангенсами

Рассмотрим два прямоугольных треугольника, $?ADC$ и $?ADB$, у которых есть общий катет $AD$. Обозначим длину этого катета $AD$ как $x$.

В прямоугольном треугольнике $?ADC$ отношение противолежащего катета $CD$ к прилежащему катету $AD$ равно тангенсу угла $?CAD$: $tan(?CAD) = \frac{CD}{AD}$ $tan(30°) = \frac{H}{x}$ Из этого уравнения выразим $x$: $x = \frac{H}{tan(30°)}$.

В прямоугольном треугольнике $?ADB$ отношение противолежащего катета $BD$ к прилежащему катету $AD$ равно тангенсу угла $?BAD$: $tan(?BAD) = \frac{BD}{AD}$ $tan(60°) = \frac{H + 100}{x}$ Из этого уравнения также выразим $x$: $x = \frac{H + 100}{tan(60°)}$.

Так как оба выражения равны $x$, мы можем их приравнять: $\frac{H}{tan(30°)} = \frac{H + 100}{tan(60°)}$

Подставим табличные значения тангенсов: $tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ и $tan(60°) = \sqrt{3}$. $\frac{H}{1/\sqrt{3}} = \frac{H + 100}{\sqrt{3}}$ $H \cdot \sqrt{3} = \frac{H + 100}{\sqrt{3}}$

Решим полученное уравнение относительно $H$: $H \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = H + 100$ $3H = H + 100$ $2H = 100$ $H = 50$ м.

Ответ: высота горы $H$ равна 50 м.

Способ 2. Через свойства равнобедренного треугольника

Рассмотрим треугольник $?ABC$ и найдем его углы.

Угол $?BAC$ можно найти как разность углов $?BAD$ и $?CAD$, которые мы определили ранее: $?BAC = ?BAD - ?CAD = 60° - 30° = 30°$.

Угол $?ABC$ (который совпадает с углом $?ABD$) найдем из прямоугольного треугольника $?ADB$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90°$, поэтому: $?ABD = 90° - ?BAD = 90° - 60° = 30°$.

Таким образом, в треугольнике $?ABC$ два угла равны: $?BAC = ?ABC = 30°$. Следовательно, треугольник $?ABC$ является равнобедренным, а стороны, лежащие напротив равных углов, равны: $AC = BC$.

Из условия задачи мы знаем, что высота башни $BC = 100$ м. Значит, и сторона $AC$ тоже равна 100 м.

Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику $?ADC$. В нем нам известна гипотенуза $AC = 100$ м и прилежащий к ней угол $?CAD = 30°$. Нам нужно найти противолежащий этому углу катет $CD$, который и является высотой горы $H$.

Используем определение синуса угла: $sin(?CAD) = \frac{CD}{AC}$ $sin(30°) = \frac{H}{100}$

Зная, что $sin(30°) = \frac{1}{2}$, получаем уравнение: $\frac{1}{2} = \frac{H}{100}$ Откуда находим $H$: $H = \frac{100}{2} = 50$ м.

Ответ: высота горы $H$ равна 50 м.