Страница 281 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

1109 Найдите площадь треугольника ABC, если:

Для нахождения площади треугольника во всех трех случаях используется формула, согласно которой площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними: $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$.

а)

В данном случае нам даны стороны $AB = 6\sqrt{8}$ см, $AC = 4$ см и угол между ними $\angle A = 60°$.

Площадь треугольника $ABC$ находится по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A)$.

Прежде всего, упростим значение длины стороны $AB$:$AB = 6\sqrt{8} = 6\sqrt{4 \cdot 2} = 6 \cdot 2\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$ см.

Значение синуса угла $60°$ является табличным: $\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь подставим все известные значения в формулу площади:

$S = \frac{1}{2} \cdot 12\sqrt{2} \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$S = (6\sqrt{2}) \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 12\sqrt{6}$ см².

Ответ: $12\sqrt{6}$ см².

б)

Здесь даны стороны $BC = 3$ см, $AB = 18\sqrt{2}$ см и угол между ними $\angle B = 45°$.

Площадь треугольника $ABC$ вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle B)$.

Значение синуса угла $45°$ является табличным: $\sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим значения в формулу:

$S = \frac{1}{2} \cdot 18\sqrt{2} \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$S = 9\sqrt{2} \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 27\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 27 \cdot \frac{2}{2} = 27$ см².

Ответ: $27$ см².

в)

В этом случае даны стороны $AC = 14$ см, $CB = 7$ см и угол между ними $\angle C = 48°$.

Площадь треугольника $ABC$ вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CB \cdot \sin(\angle C)$.

Подставим известные значения в формулу:

$S = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 7 \cdot \sin(48°)$

$S = 7 \cdot 7 \cdot \sin(48°) = 49\sin(48°)$ см².

Так как значение $\sin(48°)$ не является стандартным табличным значением, ответ принято оставлять в таком виде. Если требуется получить приближенное численное значение, можно воспользоваться калькулятором: $\sin(48°) \approx 0.7431$, тогда $S \approx 49 \cdot 0.7431 \approx 36.41$ см².

Ответ: $49\sin(48°)$ см².

1110 Докажите, что площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.

Рассмотрим параллелограмм, у которого длины смежных сторон равны $a$ и $b$, а угол между ними равен $\alpha$.

Площадь параллелограмма ($S$) вычисляется как произведение его основания на высоту, проведенную к этому основанию.

Пусть сторона длиной $a$ будет основанием параллелограмма. Проведем из вершины, где сходятся стороны $a$ и $b$, высоту $h$ к основанию $a$.

Эта высота, сторона $b$ и часть основания (или его продолжения) образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике сторона $b$ является гипотенузой, а высота $h$ — катетом, противолежащим углу $\alpha$ (или углу $180^\circ - \alpha$, если угол $\alpha$ тупой).

Из определения синуса в прямоугольном треугольнике имеем: $\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{h}{b}$

Отсюда выразим высоту $h$: $h = b \cdot \sin(\alpha)$

(Примечание: если угол $\alpha$ тупой, то в прямоугольном треугольнике будет участвовать смежный с ним острый угол $180^\circ - \alpha$. Так как $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$, формула для высоты остается той же).

Теперь подставим полученное выражение для высоты $h$ в формулу площади параллелограмма: $S = \text{основание} \cdot h = a \cdot (b \sin(\alpha)) = ab \sin(\alpha)$

Таким образом, доказано, что площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними. Что и требовалось доказать.

Ответ: Площадь параллелограмма со смежными сторонами $a$ и $b$ и углом $\alpha$ между ними равна $S = ab \sin(\alpha)$.

1111 Площадь треугольника ABC равна 60 см². Найдите сторону AB, если АС = 15 см, ∠A = 30°.

Для решения задачи воспользуемся формулой площади треугольника через две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma)$, где $a$ и $b$ – длины двух сторон треугольника, а $\gamma$ – угол, заключенный между этими сторонами.

В нашем случае даны следующие величины:

• Площадь треугольника $S_{ABC} = 60$ см?.
• Длина одной стороны $AC = 15$ см.
• Угол между сторонами $AC$ и искомой стороной $AB$ равен $\angle A = 30^\circ$.

Подставим известные значения в формулу площади, чтобы найти длину стороны $AB$:$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AB \cdot \sin(\angle A)$

$60 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot AB \cdot \sin(30^\circ)$

Значение синуса угла в $30^\circ$ является табличным и составляет $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$. Подставим это значение в наше уравнение:

$60 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot AB \cdot \frac{1}{2}$

Теперь упростим правую часть уравнения:

$60 = \frac{15 \cdot AB}{4}$

Чтобы найти $AB$, выразим эту сторону из уравнения. Для этого умножим обе части уравнения на 4 и разделим на 15:

$AB = \frac{60 \cdot 4}{15}$

Произведем вычисления:

$AB = \frac{240}{15}$

$AB = 16$ см.

Ответ: 16 см.

1112 Найдите площадь прямоугольника, диагональ которого равна 10 см, а угол между диагоналями равен 30°.

Для нахождения площади прямоугольника можно воспользоваться формулой площади выпуклого четырехугольника, выраженной через его диагонали и угол между ними.

Формула площади четырехугольника имеет вид:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\alpha$

где $d_1$ и $d_2$ — это длины диагоналей, а $\alpha$ — угол между ними.

В прямоугольнике диагонали равны между собой, следовательно, $d_1 = d_2 = d$.

Из условия задачи нам известны:

• длина диагонали $d = 10$ см;
• угол между диагоналями $\alpha = 30^{\circ}$.

Подставим эти значения в формулу, адаптированную для прямоугольника:

$S = \frac{1}{2} d^2 \sin\alpha$

Выполним вычисления:

$S = \frac{1}{2} \cdot (10 \text{ см})^2 \cdot \sin(30^{\circ})$

Так как значение синуса $30$ градусов равно $\frac{1}{2}$, получаем:

$S = \frac{1}{2} \cdot 100 \text{ см}^2 \cdot \frac{1}{2}$

$S = \frac{100}{4} \text{ см}^2$

$S = 25 \text{ см}^2$

Ответ: $25 \text{ см}^2$.

1113 Найдите площадь треугольника ABC, если:

а) ∠A = α, а высоты, проведённые из вершин В и С, соответственно равны hb и hc;

б) ∠A = α, ∠B = β, а высота, проведённая из вершины В, равна h.

а)

Обозначим стороны треугольника ABC, противолежащие вершинам A, B и C, как a, b и c соответственно. Высота, проведенная из вершины B, равна $h_b$, а высота из вершины C равна $h_c$.

Площадь треугольника S можно выразить через сторону и высоту, проведенную к ней. Используя данные высоты, мы можем записать два выражения для площади:

$S = \frac{1}{2} b \cdot h_b$

$S = \frac{1}{2} c \cdot h_c$

Из этих уравнений мы можем выразить стороны b и c через площадь S и известные высоты:

$b = \frac{2S}{h_b}$

$c = \frac{2S}{h_c}$

Также площадь треугольника можно найти по формуле, использующей две стороны и синус угла между ними. Угол между сторонами b и c — это $\angle A = \alpha$.

$S = \frac{1}{2} b c \sin(\alpha)$

Теперь подставим выражения для сторон b и c в эту формулу:

$S = \frac{1}{2} \left(\frac{2S}{h_b}\right) \left(\frac{2S}{h_c}\right) \sin(\alpha)$

Упростим полученное выражение:

$S = \frac{1}{2} \frac{4S^2}{h_b h_c} \sin(\alpha) = \frac{2S^2 \sin(\alpha)}{h_b h_c}$

Поскольку площадь треугольника $S$ не равна нулю, мы можем разделить обе части уравнения на S:

$1 = \frac{2S \sin(\alpha)}{h_b h_c}$

Наконец, выразим площадь S:

$S = \frac{h_b h_c}{2 \sin(\alpha)}$

Ответ: $S = \frac{h_b h_c}{2 \sin(\alpha)}$

б)

В этом случае нам даны два угла $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$ и высота $h_b = h$, проведенная из вершины B. Обозначим стороны треугольника, как и в предыдущем пункте.

Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} ac \sin(\beta)$. Чтобы воспользоваться этой формулой, нам нужно найти выражения для сторон a и c.

Пусть BD — высота, проведенная из вершины B на сторону AC. Тогда $BD = h_b = h$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. В нем гипотенуза — это сторона AB (равная c), а катет BD (равный h) лежит против угла A. Следовательно:

$\sin(\angle A) = \frac{h}{c}$, то есть $\sin(\alpha) = \frac{h}{c}$

Отсюда находим сторону c:

$c = \frac{h}{\sin(\alpha)}$

Теперь найдем сторону a. Сначала определим угол C. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:

$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (\alpha + \beta)$

Рассмотрим прямоугольный треугольник BDC. В нем гипотенуза — это сторона BC (равная a), а катет BD (равный h) лежит против угла C. Следовательно:

$\sin(\angle C) = \frac{h}{a}$

$\sin(180^\circ - (\alpha + \beta)) = \frac{h}{a}$

Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, получаем:

$\sin(\alpha + \beta) = \frac{h}{a}$

Отсюда находим сторону a:

$a = \frac{h}{\sin(\alpha + \beta)}$

Теперь у нас есть выражения для сторон a и c. Подставим их в формулу площади $S = \frac{1}{2} ac \sin(\beta)$:

$S = \frac{1}{2} \left(\frac{h}{\sin(\alpha + \beta)}\right) \left(\frac{h}{\sin(\alpha)}\right) \sin(\beta)$

Упростив, получаем окончательную формулу для площади:

$S = \frac{h^2 \sin(\beta)}{2 \sin(\alpha) \sin(\alpha + \beta)}$

Ответ: $S = \frac{h^2 \sin(\beta)}{2 \sin(\alpha) \sin(\alpha + \beta)}$