Страница 276 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

1107 Найдите угол наклона прямой к положительному направлению оси Ох, если прямая задана уравнением:
а) у = х + 1;
б) у = –х + 2;
в) у = 33х + 4;
г) у = –33х + 5;
д) у = –3х – 2.

Угол наклона прямой к положительному направлению оси $Ox$, обозначаемый как $\alpha$, связан с угловым коэффициентом прямой $k$. Уравнение прямой в виде $y = kx + b$ называется уравнением с угловым коэффициентом, где $k$ — это угловой коэффициент. Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона прямой: $k = \tan(\alpha)$. Чтобы найти угол наклона, нужно определить значение $k$ из уравнения прямой и затем найти угол $\alpha$ (в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$), тангенс которого равен $k$.

а) Дано уравнение прямой $y = x + 1$.

В этом уравнении угловой коэффициент $k = 1$.

Следовательно, нам нужно найти угол $\alpha$, для которого $\tan(\alpha) = 1$.

Из тригонометрии известно, что тангенс равен 1 для угла $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

б) Дано уравнение прямой $y = -x + 2$.

В этом уравнении угловой коэффициент $k = -1$.

Нам нужно найти угол $\alpha$, для которого $\tan(\alpha) = -1$.

Поскольку значение тангенса отрицательно, угол $\alpha$ находится во второй четверти ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$). Опорным углом, для которого тангенс по модулю равен 1, является $45^\circ$. Искомый угол равен $\alpha = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Ответ: $135^\circ$.

в) Дано уравнение прямой $y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + 4$.

Угловой коэффициент $k = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Находим угол $\alpha$ из уравнения $\tan(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Это табличное значение тангенса, которое соответствует углу $30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.

г) Дано уравнение прямой $y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + 5$.

Угловой коэффициент $k = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Находим угол $\alpha$ из уравнения $\tan(\alpha) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Так как тангенс отрицательный, угол $\alpha$ находится во второй четверти. Опорный угол, для которого тангенс по модулю равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$, это $30^\circ$. Следовательно, угол наклона будет $\alpha = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.

Ответ: $150^\circ$.

д) Дано уравнение прямой $y = -\sqrt{3}x - 2$.

Угловой коэффициент $k = -\sqrt{3}$.

Находим угол $\alpha$ из уравнения $\tan(\alpha) = -\sqrt{3}$.

Так как тангенс отрицательный, угол $\alpha$ находится во второй четверти. Опорный угол, для которого тангенс по модулю равен $\sqrt{3}$, это $60^\circ$. Таким образом, угол наклона будет $\alpha = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.

1108 Луч света, падая из точки М (8; 3) под углом 45° к положительному направлению оси Ох, отражается от неё. Составьте уравнения прямых, которым принадлежат падающий и отражённый лучи. В какой точке отражённый луч пересекает экран, находящийся в точке В(–10; 0) и расположенный перпендикулярно к оси Ох?

Составьте уравнения прямых, которым принадлежат падающий и отражённый лучи.

1. Уравнение падающего луча

Луч света выходит из точки $M(8; 3)$ и падает на ось $Ox$. В условии сказано, что угол падения составляет $45^\circ$ к положительному направлению оси $Ox$. Поскольку луч движется из области $y > 0$ к оси $y = 0$, его ордината уменьшается, а значит, угловой коэффициент (тангенс угла наклона) прямой должен быть отрицательным. Угол наклона прямой к положительному направлению оси $Ox$, таким образом, составляет $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Угловой коэффициент $k_1$ падающего луча равен:

$k_1 = \tan(135^\circ) = -1$

Используем уравнение прямой, проходящей через точку $M(x_0; y_0)$ с известным угловым коэффициентом $k$: $y - y_0 = k(x - x_0)$.

Подставим координаты точки $M(8; 3)$ и найденный коэффициент $k_1 = -1$:

$y - 3 = -1 \cdot (x - 8)$

$y - 3 = -x + 8$

$y = -x + 11$

Это уравнение прямой, содержащей падающий луч.

2. Уравнение отраженного луча

Сначала найдем точку, в которой луч отражается от оси $Ox$. В этой точке координата $y = 0$. Подставим это значение в уравнение падающего луча:

$0 = -x + 11$

$x = 11$

Точка отражения — $P(11; 0)$.

Согласно закону отражения света от горизонтальной поверхности, угловой коэффициент отраженного луча $k_2$ имеет противоположный знак по сравнению с угловым коэффициентом падающего луча $k_1$:

$k_2 = -k_1 = -(-1) = 1$

Теперь составим уравнение для отраженного луча, который проходит через точку $P(11; 0)$ с угловым коэффициентом $k_2 = 1$:

$y - 0 = 1 \cdot (x - 11)$

$y = x - 11$

Это уравнение прямой, содержащей отраженный луч.

Ответ: Уравнение прямой падающего луча: $y = -x + 11$. Уравнение прямой отраженного луча: $y = x - 11$.

В какой точке отражённый луч пересекает экран, находящийся в точке B(-10; 0) и расположенный перпендикулярно к оси Ox?

Экран расположен перпендикулярно оси $Ox$ и проходит через точку $B(-10; 0)$. Это значит, что экран является вертикальной прямой, для всех точек которой абсцисса $x$ постоянна и равна $-10$. Уравнение прямой, на которой расположен экран: $x = -10$.

Для нахождения точки пересечения отраженного луча и экрана решим систему уравнений:

$\begin{cases} y = x - 11 \\ x = -10 \end{cases}$

Подставим значение $x = -10$ из второго уравнения в первое:

$y = -10 - 11 = -21$

Таким образом, отраженный луч пересекает экран в точке с координатами $(-10; -21)$.

Ответ: Отраженный луч пересекает экран в точке $(-10; -21)$.