Номер 1107, страница 276 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Синус, косинус, тангенс, котангенс угла. 103. Угловой коэффициент прямой. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 1107, страница 276.

1107 Найдите угол наклона прямой к положительному направлению оси Ох, если прямая задана уравнением:
а) у = х + 1;
б) у = –х + 2;
в) у = 33х + 4;
г) у = –33х + 5;
д) у = –3х – 2.

Угол наклона прямой к положительному направлению оси $Ox$, обозначаемый как $\alpha$, связан с угловым коэффициентом прямой $k$. Уравнение прямой в виде $y = kx + b$ называется уравнением с угловым коэффициентом, где $k$ — это угловой коэффициент. Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона прямой: $k = \tan(\alpha)$. Чтобы найти угол наклона, нужно определить значение $k$ из уравнения прямой и затем найти угол $\alpha$ (в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$), тангенс которого равен $k$.

а) Дано уравнение прямой $y = x + 1$.

В этом уравнении угловой коэффициент $k = 1$.

Следовательно, нам нужно найти угол $\alpha$, для которого $\tan(\alpha) = 1$.

Из тригонометрии известно, что тангенс равен 1 для угла $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

б) Дано уравнение прямой $y = -x + 2$.

В этом уравнении угловой коэффициент $k = -1$.

Нам нужно найти угол $\alpha$, для которого $\tan(\alpha) = -1$.

Поскольку значение тангенса отрицательно, угол $\alpha$ находится во второй четверти ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$). Опорным углом, для которого тангенс по модулю равен 1, является $45^\circ$. Искомый угол равен $\alpha = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Ответ: $135^\circ$.

в) Дано уравнение прямой $y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + 4$.

Угловой коэффициент $k = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Находим угол $\alpha$ из уравнения $\tan(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Это табличное значение тангенса, которое соответствует углу $30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.

г) Дано уравнение прямой $y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + 5$.

Угловой коэффициент $k = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Находим угол $\alpha$ из уравнения $\tan(\alpha) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Так как тангенс отрицательный, угол $\alpha$ находится во второй четверти. Опорный угол, для которого тангенс по модулю равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$, это $30^\circ$. Следовательно, угол наклона будет $\alpha = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.

Ответ: $150^\circ$.

д) Дано уравнение прямой $y = -\sqrt{3}x - 2$.

Угловой коэффициент $k = -\sqrt{3}$.

Находим угол $\alpha$ из уравнения $\tan(\alpha) = -\sqrt{3}$.

Так как тангенс отрицательный, угол $\alpha$ находится во второй четверти. Опорный угол, для которого тангенс по модулю равен $\sqrt{3}$, это $60^\circ$. Таким образом, угол наклона будет $\alpha = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.