Номер 1105, страница 275 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Синус, косинус, тангенс, котангенс угла. 103. Угловой коэффициент прямой. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 1105, страница 275.

1105 Угол между лучом ОА, пересекающим единичную полуокружность, и положительной полуосью Ох равен α. Найдите координаты точки А, если:

а) ОА = 3, α = 45°;

б) ОА = 1,5, α = 90°;

в) ОА = 5, α = 150°;

г) ОА = 1, α = 180°;

д) ОА = 2, α = 30°.

Для нахождения координат точки $A(x; y)$ используются формулы перехода от полярных координат к декартовым. Длина отрезка $OA$ соответствует полярному радиусу $r$, а угол $\alpha$ между лучом $OA$ и положительной полуосью $Ox$ — полярному углу. Координаты точки вычисляются по формулам:

$x = OA \cdot \cos(\alpha)$

$y = OA \cdot \sin(\alpha)$

а) Дано: $OA = 3, \alpha = 45^{\circ}$.

Находим координаты точки A:

$x = 3 \cdot \cos(45^{\circ}) = 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$

$y = 3 \cdot \sin(45^{\circ}) = 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $A(\frac{3\sqrt{2}}{2}; \frac{3\sqrt{2}}{2})$.

б) Дано: $OA = 1,5, \alpha = 90^{\circ}$.

Находим координаты точки A:

$x = 1,5 \cdot \cos(90^{\circ}) = 1,5 \cdot 0 = 0$

$y = 1,5 \cdot \sin(90^{\circ}) = 1,5 \cdot 1 = 1,5$

Ответ: $A(0; 1,5)$.

в) Дано: $OA = 5, \alpha = 150^{\circ}$.

Находим координаты точки A, используя формулы приведения:

$x = 5 \cdot \cos(150^{\circ}) = 5 \cdot \cos(180^{\circ} - 30^{\circ}) = 5 \cdot (-\cos(30^{\circ})) = 5 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{5\sqrt{3}}{2}$

$y = 5 \cdot \sin(150^{\circ}) = 5 \cdot \sin(180^{\circ} - 30^{\circ}) = 5 \cdot \sin(30^{\circ}) = 5 \cdot \frac{1}{2} = 2,5$

Ответ: $A(-\frac{5\sqrt{3}}{2}; 2,5)$.

г) Дано: $OA = 1, \alpha = 180^{\circ}$.

Находим координаты точки A:

$x = 1 \cdot \cos(180^{\circ}) = 1 \cdot (-1) = -1$

$y = 1 \cdot \sin(180^{\circ}) = 1 \cdot 0 = 0$

Ответ: $A(-1; 0)$.

д) Дано: $OA = 2, \alpha = 30^{\circ}$.

Находим координаты точки A:

$x = 2 \cdot \cos(30^{\circ}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

$y = 2 \cdot \sin(30^{\circ}) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$

Ответ: $A(\sqrt{3}; 1)$.