Номер 1099, страница 275 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Синус, косинус, тангенс, котангенс угла. 103. Угловой коэффициент прямой. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 1099, страница 275.

1099 Проверьте, что точки М₁ (0; 1), M₂12; 32, M₃22; 22, M₄-32; 12, A (1; 0), B (−1; 0) лежат на единичной полуокружности. Выпишите значения синуса, косинуса и тангенса углов АOM₁, АOM₂, АOM₃, АOM₄, AOB.

Проверка принадлежности точек единичной полуокружности.

Уравнение единичной окружности с центром в начале координат $(0; 0)$ имеет вид: $x^2 + y^2 = 1$. Единичная полуокружность — это часть окружности, для которой ордината (координата y) неотрицательна, то есть $y \ge 0$. Проверим каждую точку, подставив её координаты $(x; y)$ в уравнение окружности.

• Для точки $M_1(0; 1)$: $x^2 + y^2 = 0^2 + 1^2 = 0 + 1 = 1$. Равенство выполняется, $y = 1 \ge 0$.
• Для точки $M_2(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$: $x^2 + y^2 = (\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} = 1$. Равенство выполняется, $y = \frac{\sqrt{3}}{2} \ge 0$.
• Для точки $M_3(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$: $x^2 + y^2 = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} + \frac{2}{4} = \frac{4}{4} = 1$. Равенство выполняется, $y = \frac{\sqrt{2}}{2} \ge 0$.
• Для точки $M_4(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2})$: $x^2 + y^2 = (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = \frac{4}{4} = 1$. Равенство выполняется, $y = \frac{1}{2} \ge 0$.
• Для точки $A(1; 0)$: $x^2 + y^2 = 1^2 + 0^2 = 1 + 0 = 1$. Равенство выполняется, $y = 0 \ge 0$.
• Для точки $B(-1; 0)$: $x^2 + y^2 = (-1)^2 + 0^2 = 1 + 0 = 1$. Равенство выполняется, $y = 0 \ge 0$.

Все указанные точки удовлетворяют уравнению $x^2 + y^2 = 1$ и имеют неотрицательную ординату, следовательно, они лежат на единичной полуокружности.

Вычисление значений синуса, косинуса и тангенса углов.

Для любой точки $P(x; y)$ на единичной окружности, которая образует угол $\alpha$ с положительным направлением оси Ox (лучом OA, где O - начало координат), справедливы следующие соотношения: $\cos \alpha = x$, $\sin \alpha = y$ и $\tan \alpha = \frac{y}{x}$ (при $x \neq 0$).

AOM?
Точка $M_1$ имеет координаты $(0; 1)$. Следовательно:
$\cos(\angle AOM_1) = 0$
$\sin(\angle AOM_1) = 1$
$\tan(\angle AOM_1) = \frac{1}{0}$, тангенс не определен.
Ответ: $\cos(\angle AOM_1) = 0$, $\sin(\angle AOM_1) = 1$, тангенс не определен.

AOM?
Точка $M_2$ имеет координаты $(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$. Следовательно:
$\cos(\angle AOM_2) = \frac{1}{2}$
$\sin(\angle AOM_2) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\tan(\angle AOM_2) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$.
Ответ: $\cos(\angle AOM_2) = \frac{1}{2}$, $\sin(\angle AOM_2) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan(\angle AOM_2) = \sqrt{3}$.

AOM?
Точка $M_3$ имеет координаты $(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$. Следовательно:
$\cos(\angle AOM_3) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin(\angle AOM_3) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\tan(\angle AOM_3) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1$.
Ответ: $\cos(\angle AOM_3) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin(\angle AOM_3) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\tan(\angle AOM_3) = 1$.

AOM?
Точка $M_4$ имеет координаты $(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2})$. Следовательно:
$\cos(\angle AOM_4) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin(\angle AOM_4) = \frac{1}{2}$
$\tan(\angle AOM_4) = \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\cos(\angle AOM_4) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin(\angle AOM_4) = \frac{1}{2}$, $\tan(\angle AOM_4) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

AOB
Точка $B$ имеет координаты $(-1; 0)$. Следовательно:
$\cos(\angle AOB) = -1$
$\sin(\angle AOB) = 0$
$\tan(\angle AOB) = \frac{0}{-1} = 0$.
Ответ: $\cos(\angle AOB) = -1$, $\sin(\angle AOB) = 0$, $\tan(\angle AOB) = 0$.