Номер 1096, страница 270 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Уравнения окружности и прямой. Глава 11. Метод координат - номер 1096, страница 270.

1096 Докажите, что медиану AA₁ треугольника ABC можно вычислить по формуле АА₁ = 122AC² + 2AB² - BC². Используя эту формулу, докажите, что если две медианы треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

Доказательство формулы $AA_1 = \frac{1}{2}\sqrt{2AC^2 + 2AB^2 - BC^2}$

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором $AA_1$ — медиана, проведенная к стороне $BC$. По определению медианы, точка $A_1$ является серединой стороны $BC$, следовательно, $BA_1 = A_1C = \frac{1}{2}BC$.

Для доказательства формулы достроим треугольник $ABC$ до параллелограмма $ABDC$. Для этого продлим медиану $AA_1$ за точку $A_1$ на отрезок $A_1D$, равный по длине $AA_1$. Таким образом, $AD = 2AA_1$.

В получившемся четырехугольнике $ABDC$ диагонали $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $A_1$ и делятся этой точкой пополам ($BA_1 = A_1C$ по определению медианы, $AA_1 = A_1D$ по построению). Четырехугольник, диагонали которого точкой пересечения делятся пополам, является параллелограммом. Значит, $ABDC$ — параллелограмм.

Основное свойство параллелограмма гласит, что сумма квадратов его диагоналей равна сумме квадратов его сторон:

$AD^2 + BC^2 = AB^2 + BD^2 + DC^2 + CA^2$

Так как $ABDC$ — параллелограмм, его противолежащие стороны равны: $BD = AC$ и $DC = AB$. Подставим эти равенства, а также $AD = 2AA_1$, в формулу свойства параллелограмма:

$(2AA_1)^2 + BC^2 = AB^2 + AC^2 + AB^2 + AC^2$

Выполним преобразования:

$4AA_1^2 + BC^2 = 2AB^2 + 2AC^2$

Выразим из этого уравнения $AA_1^2$:

$4AA_1^2 = 2AB^2 + 2AC^2 - BC^2$

$AA_1^2 = \frac{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}{4}$

Извлекая квадратный корень, получаем искомую формулу для длины медианы:

$AA_1 = \sqrt{\frac{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{2AC^2 + 2AB^2 - BC^2}$

Первая часть утверждения доказана.

Ответ: Формула доказана.

Доказательство того, что если две медианы треугольника равны, то треугольник равнобедренный

Пусть в треугольнике $ABC$ две медианы равны. Для определенности, пусть это будут медианы $AA_1$, проведенная к стороне $BC$, и $BB_1$, проведенная к стороне $AC$. Таким образом, по условию $AA_1 = BB_1$.

Используем доказанную выше формулу для длины медианы. Для медианы $AA_1$ формула имеет вид:

$AA_1 = \frac{1}{2}\sqrt{2AC^2 + 2AB^2 - BC^2}$

Для медианы $BB_1$, проведенной к стороне $AC$, формула будет выглядеть аналогично (стороны, выходящие из вершины $B$ — это $BA$ и $BC$, а сторона, к которой проведена медиана — $AC$):

$BB_1 = \frac{1}{2}\sqrt{2BA^2 + 2BC^2 - AC^2}$

Так как по условию $AA_1 = BB_1$, мы можем приравнять правые части этих выражений:

$\frac{1}{2}\sqrt{2AC^2 + 2AB^2 - BC^2} = \frac{1}{2}\sqrt{2BA^2 + 2BC^2 - AC^2}$

Умножим обе части уравнения на 2, а затем возведем в квадрат, чтобы избавиться от знаков корня:

$2AC^2 + 2AB^2 - BC^2 = 2BA^2 + 2BC^2 - AC^2$

Учитывая, что $AB^2 = BA^2$, слагаемые $2AB^2$ и $2BA^2$ в обеих частях уравнения можно сократить:

$2AC^2 - BC^2 = 2BC^2 - AC^2$

Перенесем все члены с $AC^2$ в левую часть, а члены с $BC^2$ — в правую:

$2AC^2 + AC^2 = 2BC^2 + BC^2$

$3AC^2 = 3BC^2$

Разделим обе части на 3:

$AC^2 = BC^2$

Поскольку длины сторон треугольника являются положительными числами, из равенства их квадратов следует равенство самих сторон:

$AC = BC$

В треугольнике $ABC$ две стороны ($AC$ и $BC$) равны. Следовательно, по определению, треугольник $ABC$ является равнобедренным. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение о том, что если две медианы треугольника равны, то он является равнобедренным, доказано.